La relazione tra prodotto scalare e la lunghezza di un vettore
Il prodotto scalare di un vettore per se stesso è uguale al quadrato del modulo del vettore. $$ \vec{v} \cdot \vec{v} = | \vec{v} |^2 $$
Questa relazione è molto utile perché mi permette di trovare la lunghezza (modulo o norma) del vettore.
Basta calcolare la radice quadrata del prodotto scalare del vettore con se stesso.
$$ | \vec{v} | = \sqrt{ \vec{v} \cdot \vec{v} } $$
Un esempio pratico
Prendo in considerazione un vettore
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Dal punto di vista grafico
Per calcolare il modulo (norma) del vettore calcolo il prodotto scalare del vettore per se stesso
$$ \vec{v} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 2^2 + 4^2 = 4
+ 16 = 20 $$
Sapendo che il prodotto scalare del vettore per se stesso è il quadrato del modulo
$$ | \vec{v} |^2 = \vec{v} \cdot \vec{v} = 20 $$
Per calcolare il modulo mi basta trovare la radice quadrata del prodotto scalare
$$ \vec{v} = \sqrt{ 20 } $$
In questo modo ho trovato la lunghezza del vettore
La dimostrazione
Considero un vettore qualsiasi di coordinate (x,y)
$$ \vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$
Per semplicità è un vettore sul piano ( due dimensioni ) ma il ragionamento è valido per qualsiasi altra dimensione.
La proiezione delle coordinate (x,y) del vettore sugli assi cartesiani traccia la figura di un triangolo ABC
Dove le proiezioni sugli assi sono le lunghezze dei cateti mentre la lunghezza (modulo) del vettore è l'ipotenusa.
Il prodotto scalare del vettore per se stesso è la somma dei quadrati dei lati del triangolo
$$ \vec{v} \cdot \vec{v} = x \cdot x + y \cdot y = x^2 + y^2 $$
Secondo il teorema di Pitagora la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell'ipotenusa
$$ \overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{AC}^2 $$
In questo caso AC=x, BC=y mentre AB è la lunghezza (modulo) del vettore |v|
$$ | \vec{v} |^2 = x^2 + y^2 $$
Quindi il prodotto scalare del vettore per se stesso determina il valore del suo modulo al quadrato.
$$ \vec{v} \cdot \vec{v} = x^2 + y^2 = | \vec{v} |^2 $$
Pertanto, il modulo del vettore è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore per se stesso
$$ | \vec{v} | = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} $$
Nota. Il modulo del vettore si può chiamare anche norma. Il modulo e la norma indicano lo stesso valore scalare ossia la lunghezza del vettore. $$ || \vec{v} || = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}} $$
E così via.
