Come trovare la base di un sistema di generatori vettoriali
Per trovare la base di un sistema di generatori vettoriali, devo individuare il sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti di dimensione più alta.
Esercizio pratico
Nello spazio vettoriale R4 nel campo K=R ho un sottospazio vettoriale W definito da un sistema di generatori composto da tre vettori.
$$ W_1 = L_R \{ w_1, w_2, w_3 \} \:\:\: con \begin{cases} w_1 =(1,1,0,0) \\ w_2 = (1,2,0,1) \\ w_3 = (0,1,0,1) \end{cases} $$
Osservando la matrice dei coefficienti, si comprende subito che i vettori sono linearmente dipendenti.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
Il minore complementare con determinante diverso da zero è di ordine due mentre lo spazio vettoriale è di dimensione quattro.
Prendo come riferimento il minore complementare composto da w1 e w3.
$$ det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \ne 0 $$
Quindi la coppia w1 e w3 sono vettori linearmente indipendenti.
$$ w_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \:\:\: w_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ho così trovato i due vettori della base vettoriale che permette di definire tutti i vettori del sottospazio tramite una combinazione lineare:
$$ v = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ v = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ a_2 \\ 0 \\ a_2 \end{pmatrix} $$
$$ v = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1+a_2 \\ 0 \\ a_2 \end{pmatrix} $$
Dalla combinazione lineare si arriva così al sistema di equazioni parametriche
$$ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_1+a_2 \\ 0 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{cases} x_1 = a_1 \\ x_2 = a_1+a_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = a_2 \end{cases} $$
E così via.
