Studio della convergenza della serie \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n} \)

Devo studiare il carattere della serie

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n} \]

Il termine generale della serie è

\[ a_n = \frac{2n + 1}{n} \]

Cerco di semplificare questa espressione:

\[ a_n = \frac{2n + 1}{n} = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \]

Quindi ogni termine della serie è:

\[ a_n = 2 + \frac{1}{n} \]

A questo punto calcolo il limite del termine generale

Una condizione necessaria affinché una serie \(\sum a_n\) converga è che il termine generale vada a zero:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n}\right) = 2 + 0 = 2 \]

In questo caso il limite non va a zero.

\( \lim a_n = 2 \ne 0 \)

Quindi, la serie diverge.

E così via.