Esercizio: la serie \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} \) converge o diverge?

In questo esecizio devo studiare la serie

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} \]

La serie ha inizio da 2 per evitare una divisione per zero.

Guardando il termine della serie, mi accorgo che può essere trasformato in una forma equivalente più agevole per risolvere il problema.

Riscrivo il numeratore $ n+1 $ nella forma equivalente $ n - 1 +2 $

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{n - 1  + 2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{(n - 1) + 2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{n-1}{n-1} + \frac{2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = 1 + \frac{2}{n - 1} $$

Quindi la serie può essere riscritta come:

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \left(1 + \frac{2}{n - 1}\right)$$

A questo punto applico le proprietà delle serie

$$ \sum_{n=2}^{\infty} 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n - 1} $$

$$ \sum_{n=2}^{\infty} 1 + 2 \cdot \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} $$

In questo modo ottengo una forma equivalente della serie più facile da analizzare.

Sapendo che \( \sum_{n=2}^{\infty} 1 \) è la somma infinita di 1, cioè diverge chiaramente, e che \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1}  \) è la serie armonica con $ k=n-1 $ che parte da 2 e anche la serie armonica diverge, deduco che la serie è divergente all'infinito.

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} = \underbrace{ \sum_{n=2}^{\infty} 1}_{divergente}  + 2 \cdot \underbrace{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} }_{divergente}  $$

Pertanto, la serie $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} $ è divergente.

E così via.