Medio proporzionale
Il medio proporzionale tra due numeri o grandezze A e B è un valore M che soddisfa la proporzione $$ A:M = M:B $$ Gli altri due termini della proporzione sono detti primo proporzionale (A) e terzo proporzionale (B)
Detto in altri termini, in una proporzione un termine è detto medio proporzionale se compare due volte nella posizione media ossia nel mezzo della proporzione
$$ A:\color{red}M = \color{red}M:B $$
E' un particolare tipo di proporzione.
Un esempio pratico
Questa proporzione ha come medio proporzionale il valore 9
$$ 27:9 = 9:3 $$
perché in entrambe le posizioni medie compare il numero nove
$$ 27:\color{red}9 = \color{red}9:3 $$
Come calcolare il medio proporzionale
Il medio proporzionale in una proporzione del tipo $$ A:M = M:B $$ è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termini estremi della proporzione $$ M = \sqrt{AB} $$
Questa formula è particolarmente utile per trovare velocemente il medio proporzionale.
In alternativa, posso seguire la via più lunga usando gli stessi passaggi algebrici della dimostrazione.
La dimostrazione
Considero la proporzione
$$ A:M = M:B $$
Applico la proprietà fondamentale delle proporzioni ossia il prodotto in croce
$$ A \cdot B = M \cdot M $$
$$ AB = M^2 $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni calcolo la radice quadrata di entrambi i membri
$$ \sqrt{AB} = \sqrt{M^2} $$
Poi semplifico tramite la riduzione del radicale √M2=M
$$ \sqrt{AB} = \sqrt[\not{2}]{M^{\not{2}}} $$
$$ \sqrt{AB} = M $$
Pertanto, il medio proporzionale è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termini estremi della proporzione
$$ M = \sqrt{AB} $$
La formula del calcolo del medio proporzionale è dimostrata.
Esempio 1. Considero la proporzione $$ 2:x = x:32 $$ Il medio proporzionale è la radice quadrata del prodotto dei termini estremi $$ x = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = \pm 8 $$ Quindi, il medio proporzionale è 8. $$ 2:8 = 8:32 $$ Per verificarlo calcolo il prodotto in croce $$ 2 \cdot 32 = 8 \cdot 8 $$ $$ 64 = 64 $$ L'identità è confermata, 2:8=8:32 è una proporzione.
Esempio 2. Provo a calcolare il medio proporzionale eseguendo tutti i passaggi $$ 2:x = x:32 $$ Per la proprietà fondamentale delle proporzioni calcolo il prodotto in croce dei termini $$ 2 \cdot 32 = x \cdot x $$ $$ 64 = x^2 $$ Per la proprietà invariantiva delle frazioni calcolo la radice quadrata di entrambi i termini $$ \sqrt{64} = \sqrt{x^2} $$ $$ x = \pm 8 $$ Il medio proporzionale è 8. $$ 2:8 = 8:32 $$ E' lo stesso risultato ottenuto con la formula rapida.
Osservazioni utili
Alcune osservazioni utili
- Il calcolo dell'estremo proporzionale
La formula del calcolo del medio proporzionale posso usarla anche per calcolare l'estremo proporzionale di una proporzione del tipo $$ M:A = B:M $$ Mi basta invertire i termini antecedenti e conseguenti tramite la proprietà dell'invertire delle proporzioni $$ A:M = M:B $$ e poi calcolare la formula del medio proporzionale. $$ M = \sqrt{AB} $$ Il risultato finale è l'estremo proporzionale della proporzione M:A=B:M
Esempio. Devo trovare l'estremo proporzionale di questa proporzione $$ x:2 = 32:x $$ Inverto i termini della proporzione $$ 2:x = x:32 $$ Poi calcolo il medio proporzionale $$ x = \sqrt{2 \cdot 32}= \sqrt{64} = \pm 8 $$ Il medio proporzionale è otto $$ 2:8 = 8:32 $$ Inverto nuovamente i termini e ottengo quello che stavo cercando. L'estremo proporzionale è uguale a otto $$ \color{red}8:2 = 32:\color{red}8 $$ In alternativa, basta ricordarsi che l'estremo proporzionale è uguale alla radice quadrata dei termini medi della proporzione.
E così via.
