Estremo proporzionale
L'estremo proporzionale tra due numeri o grandezze A e B è un valore E che soddisfa la proporzione $$ X:B = C:X $$
In una proporzione un termine è detto estremo proporzionale se compare due volte agli estremi della proporzione.
$$ \color{red}X:B = C:\color{red}X $$
E' un particolare tipo di proporzione.
Un esempio pratico
Questa proporzione ha come estremo proporzionale il valore 9
$$ 9:27 = 3:9 $$
perché in entrambe le posizioni estreme compare il numero nove
$$ \color{red}9:27 = 3:\color{red}9 $$
Come calcolare l'estremo proporzionale
L'estremo proporzionale in una proporzione del tipo $$ X:B = C:X $$ è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termini medi della proporzione $$ X = \sqrt{BC} $$
E' una formula utile per trovare l'estremo proporzionale in modo veloce.
In alternativa, posso seguire gli stessi passi della dimostrazione ma il procedimento è più lungo.
La dimostrazione
Considero una proporzione in cui i termini estremi della proporzione sono uguali (X).
$$ X:B = C:X $$
Calcolo il prodotto in croce dei termini applicando la proprietà fondamentale delle proporzioni
$$ X \cdot X = B \cdot C $$
$$ X^2 = BC $$
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni per calcolare la radice quadrata in entrambi i membri
$$ \sqrt{X^2} = \sqrt{BC} $$
Poi semplifico √X2=X tramite la riduzione del radicale
$$ \sqrt[\not{2}]{X^{\not{2}}} = \sqrt{BC} $$
In conclusione, l'estremo proporzionale è uguale alla radice quadrata del prodotto dei termini medi della proporzione
$$ X = \sqrt{BC} $$
La formula del calcolo dell'estremo proporzionale è dimostrata.
Esempio 1. Considero la proporzione $$ x:2 = 32:x $$ L'estremo proporzionale x è la radice quadrata del prodotto dei termini medi $$ x = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = \pm 8 $$ Quindi, l'estremo proporzionale è 8. $$ 8:2 = 32:8 $$ Per verificarlo calcolo il prodotto in croce $$ 8 \cdot 8 = 32 \cdot 2 $$ $$ 64 = 64 $$ L'identità è confermata, 8:2=32:8 è una proporzione.
Esempio 2. In alternativa calcolo l'estremo proporzionale svolgendo tutti i passaggi algebrici $$ x:2 = 32:x $$ Applico la proprietà fondamentale delle proporzioni e calcolo il prodotto in croce dei termini $$ x \cdot x = 2 \cdot 32 $$ $$ x^2=64 $$ Applico la proprietà invariantiva delle frazioni per calcolare la radice quadrata di entrambi i termini $$ \sqrt{x^2} = \sqrt{64} $$ $$ x = \pm 8 $$ L'estremo proporzionale è 8. $$ 8:2 = 32:8 $$ E' lo stesso risultato che si ottiene usando la formula rapida.
E così via.
