Esercizio equazione logaritmica log3(2x+7)=2+log3(x)
Risolvere questa equazione logaritmica
$$ \log_3(2x+7) = 2+\log_3x $$
Il campo di esistenza dei logaritmi nell'equazione è x>0
$$ \begin{cases} 2x+7 > 0 \\ x>0 \end{cases} = \begin{cases} x > -\frac{7}{2} \\ x>0 \end{cases} \begin{cases} x>0 \end{cases} $$
Riscrivo 2 come logaritmo su base 3 ossia log3 9 = 2 perché 32=9
$$ \log_3(2x+7) = 2+\log_3x $$
$$ \log_3(2x+7) = \log_3 9+\log_3x $$
In questo modo posso applicare la regola della somma di due logaritmi
$$ \log_3(2x+7) = \log_3 9x $$
A sinistra e destra dell'equazione ci sono due logaritmi con la stessa base.
Pertanto elimino i logaritmi in entrambi i membri
$$ (2x+7) = 9x $$
Infine svolgo i calcoli algebrici e trovo la soluzione.
$$ 2x - 9x = -7 $$
$$ -7x = -7 $$
$$ 7x = 7 $$
$$ x = \frac{7}{7}=1 $$
La soluzione x=1 soddisfa il campo di esistenza dei logaritmi x>0.
Quindi, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=1.
