Esercizio equazione logaritmica 5
L'esercizio consiste nel cercare una soluzione ad una equazione logaritmica
$$ 1 + \log_3 (x-2) + \log_3(x+2) = \log_3 5 + \log_3 x $$
Tutti i logaritmi devono avere un argomento positivo.
Quindi, il campo di esistenza dell'equazione logaritmica è x>2
$$ \begin{cases} x-2>0 \\ x+2>0 \\ 3x>0 \end{cases} = \begin{cases} x>2 \\ x>-2 \\ x>0 \end{cases} = \begin{cases} x>2 \end{cases} $$
Trasformo tutti i termini a logaritmo di base 3
$$ \log_3 3 + \log_3 [ (x-2) \cdot (x+2) ] = \log_3 5x $$
Applico la regola della somma dei logaritmi
$$ \log_3 [ 3 \cdot (x-2) \cdot (x+2) ] = \log_3 5x $$
$$ \log_3 [ 3 \cdot (x-2) \cdot (x+2) ] = \log_3 5x $$
Elimino i logaritmi a entrambi i membri
$$ 3 \cdot (x-2) \cdot (x+2) = 5x $$
Poi semplifico l'equazione
$$ 3 (x^2+2x-2x-4)=5x $$
$$ 3 (x^2-4)=5x $$
$$ 3x^2-5x-12=0 $$
Infine cerco le soluzioni all'equazione di 2° grado
$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{5 \pm 13}{6} = \begin{cases} x_1 = \frac{18}{3}=3 \\ \\ x_2 = \frac{-8}{6} = - \frac{4}{3} \end{cases} $$
L'equazione algebrica ha due soluzioni x1=3 e x2=-4/3.
Soltanto la prima soluzione (x1=3) soddisfa il campo di definizione dell'equazione logaritmica (x>2).
Pertanto, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=3.
E così via.