Esercizio equazione logaritmica 5

L'esercizio consiste nel cercare una soluzione ad una equazione logaritmica

$$ 1 + \log_3 (x-2) + \log_3(x+2) = \log_3 5 + \log_3 x $$

Tutti i logaritmi devono avere un argomento positivo.

Quindi, il campo di esistenza dell'equazione logaritmica è x>2

$$ \begin{cases} x-2>0 \\ x+2>0 \\ 3x>0 \end{cases} = \begin{cases} x>2 \\ x>-2 \\ x>0 \end{cases} = \begin{cases} x>2 \end{cases} $$

Trasformo tutti i termini a logaritmo di base 3

$$ \log_3 3 + \log_3 [ (x-2) \cdot (x+2) ] = \log_3 5x $$

Applico la regola della somma dei logaritmi

$$ \log_3 [ 3 \cdot (x-2) \cdot (x+2) ] = \log_3 5x $$

$$ \log_3 [ 3 \cdot (x-2) \cdot (x+2) ] = \log_3 5x $$

Elimino i logaritmi a entrambi i membri

$$ 3 \cdot (x-2) \cdot (x+2) = 5x $$

Poi semplifico l'equazione

$$ 3 (x^2+2x-2x-4)=5x $$

$$ 3 (x^2-4)=5x $$

$$ 3x^2-5x-12=0 $$

Infine cerco le soluzioni all'equazione di 2° grado

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25+144}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{5 \pm 13}{6} = \begin{cases} x_1 = \frac{18}{3}=3 \\ \\ x_2 = \frac{-8}{6} = - \frac{4}{3} \end{cases} $$

L'equazione algebrica ha due soluzioni x1=3 e x2=-4/3.

Soltanto la prima soluzione (x1=3) soddisfa il campo di definizione dell'equazione logaritmica (x>2).

Pertanto, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=3.

E così via.

 


 

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