Come risolvere un'equazione logaritmica
Per risolvere un'equazione logaritmica analizzo le condizioni di esistenza.
Ogni logaritmo deve avere l'argomento maggiore di zero.
Nota. Non esiste un logaritmo con argomento negativo. Quindi, il campo di esistenza dell'equazione è definito dai valori della x che rendono positivi gli argomenti di tutti i logaritmi dell'equazione.
Ad esempio, se l'equazione logaritmica è la seguente
Il suo campo di esistenza è x>0.
Converto i logaritmi alla stessa base se hanno basi diverse.
In questo caso tutti i logaritmi hanno base 2. Devo però esprimere il valore 3 come logaritmo di base 2.
Sapendo che log2 8 = 3 posso riscrivere l'equazione in questo modo:
Poi svolgo la semplificazione applicando le regole dei logaritmi.
Ad esempio, posso riscrivere 2log2 x come log2 x2
La differenza tra due logaritmi ( log2 8x - log2 x2 ) posso scriverla come il logaritmo del rapporto degli argomenti
Quando l'equazione è un'uguaglianza tra due logaritmi con la stessa base, elimino i logaritmi.
A questo punto studio in quali valori della x l'uguaglianza è soddisfatta.
In questo caso l'equazione è molto semplice, la soluzione è x=1.
Infine, verifico se i valori della x appartengono al campo di esistenza dell'equazione logaritmica.
Poiché x=1 è compreso nel campo di esistenza x>0 dell'equazione logaritmica, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=1.
