Esercizio equazione logaritmica 7

Devo risolvere l'equazione logaritmica

$$ \log(x) - \log(3) = \log(x - 1) + \log(3) $$

I logaritmi richiedono che gli argomenti siano positivi.

Quindi,  le condizioni di esistenza sono

$$ \begin{cases} x  > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x  > 0 \\ x > 1 \end{cases} $$

Quindi, la condizione di esistenza è x>1.

Per prima cosa utilizzo le proprietà dei logaritmi per semplificare entrambi i lati dell'equazione.

Nel membro di sinistra applico la proprietà del logaritmo che dice che la differenza dei logaritmi è il logaritmo del quoziente:

$$ \log\left(\frac{x}{3}\right) = \log(x - 1) + \log(3) $$

Sul lato destro dell'equazione applico la proprietà che la somma dei logaritmi è il logaritmo del prodotto:

$$ \log\left(\frac{x}{3}\right) = \log((x - 1) \cdot 3) $$

$$ \log\left(\frac{x}{3}\right) = \log(3(x - 1)) $$

Dato che i logaritmi sono uguali, posso dedurre che anche i loro argomenti devono essere uguali.

Quindi, semplifico l'equazione togliendo i logaritmi in entrambi i lati.

$$ \frac{x}{3} = 3(x - 1) $$

Ora risolvo questa equazione per trovare il valore di \( x \).

Moltiplico entrambi i membri dell'equazione per tre.

$$ 3 \cdot \frac{x}{3} = 3(x - 1) \cdot 3 $$

$$ x = 9(x - 1)  $$

$$ x = 9x - 9  $$

$$ x - 9x = - 9  $$

$$ - 8x = - 9  $$

Moltiplico entrambi i membri per -1.

$$ - 8x \cdot (-1) = - 9 \cdot (-1) $$

$$ 8x = 9 $$

$$ x = \frac{9}{8} $$

La soluzione dell'equazione è \( x = \frac{9}{8} \).

A questo punto verifico se questa soluzione è valida nel contesto dei logaritmi.

La condizione di esistenza dell'equazione logaritmica è x>1.

$$ x = \frac{9}{8} > 1 $$

La soluzione 9/8 è maggiore di 1. Quindi, \( x = \frac{9}{8} \) è una soluzione valida per l'equazione logaritmica originale.

E così via.