Esercizio equazione logaritmica 4
Questo esercizio consiste nel cercare una soluzione all'equazione logaritmica
$$ \log(2x+1) - \log(x-1) = \log(x+4) - \log(2) $$
Analizzo il campo di esistenza dei logaritmi
$$ \begin{cases} 2x+1>0 \\ x-1>0 \\ x+4>0 \end{cases} = \begin{cases} x> - \frac{1}{2} \\ x>1 \\ x>-4 \end{cases} = \begin{cases} x>1 \end{cases} $$
Applico la regola della sottrazione tra logaritmi a entrambi i membri.
$$ \log \frac{ 2x+1 }{ x-1 } = \log \frac{x+4}{2} $$
Elimino i logaritmi a entrambi i membri
$$ \frac{ 2x+1 }{ x-1 } = \frac{x+4}{2} $$
Poi semplifico l'equazione con alcuni passaggi algebrici.
$$ 2 \cdot (2x+1) = (x+4) \cdot (x-1) $$
$$ 4x+2 = x^2-x+4x-4 $$
$$ 4x+2 = x^2+3x-4 $$
$$ 4x+2 - x^2 - 3x +4 = 0$$
$$ - x^2 + x +6 = 0 $$
Trovo la soluzione dell'equazione di secondo grado
$$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24} }{-2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25} }{-2} = \frac{-1 \pm 5 }{-2} = \begin{cases} \frac{-1+5}{-2} = -2 \\ \frac{-1-5}{-2} = 3 \end{cases} $$
L'equazione di secondo grado ha due soluzioni
- La prima soluzione x1 = -2 è fuori dal campo di esistenza dell'equazione logaritmica (x>1). Quindi, va scartata.
- La seconda soluzione x2 = 3 è dentro il campo di campo di esistenza dell'equazione logaritmica (x>1).
Pertanto, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=3.
E così via.