Esercizio equazione logaritmica 3
Devo risolvere questa equazione logaritmica
$$ 2 \cdot \log_2 \sqrt{x-2} + \log_2 x = 3 $$
Analizzo il campo di esistenza dei logaritmi, il cui argomento deve sempre essere maggiore di zero.
$$ \begin{cases} x-2>0 \\ \\ x >0 \end{cases} = \begin{cases} x>2 \\ \\ x >0 \end{cases} = \begin{cases} x >2 \end{cases} $$
Converto tutti i termini a logaritmi con stessa base.
In questo caso c'è soltanto il numero 3 da trasformare.
Sapendo che 23=8 il logaritmo su base 2 che dà come risultato 3 è log2 8=3.
$$ 2 \cdot \log_2 \sqrt{x-2} + \log_2 x = \log_2 8 $$
Applico la regola del prodotto di un numero per un logaritmo per semplificare la radice quadrata.
$$ \log_2 ( \sqrt{x-2} )^2 + \log_2 x = \log_2 8 $$
$$ \log_2 ( x-2) + \log_2 x = \log_2 8 $$
Applico la regola della somma di due logaritmi
$$ \log_2 ( x-2)\cdot x = \log_2 8 $$
$$ \log_2 ( x^2-2x) = \log_2 8 $$
Elimino i logaritmi a entrambi i membri
$$ x^2-2x = 8 $$
Riscrivo l'equazione in forma omogenea
$$ x^2-2x - 8 = 0 $$
A questo punto trovo le soluzioni dell'equazione di secondo grado.
$$ x = \frac{2 ± \sqrt{4+32}}{2} = \frac{2 ±\sqrt{36}}{2} = \frac{2 ± 6}{2} = \begin{cases} x_1 = 4 \\ x_2 =-2 \end{cases} $$
La prima soluzione x1=4 è nel campo di esistenza dell'equazione logaritmica (x>0).
La seconda soluzione x2=-1, invece, non è nel campo di esistenza dell'equazione logaritmica (x>0).
Quindi, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=4.
E così via.