Esercizio equazione logaritmica 6

Bisogna trovare la soluzione dell'equazione logaritmica, se esiste

$$ \log_2 (x^2+1) = 1 - log_{1/2} x $$

Il campo di esistenza dell'equazione logaritmica è determinato dall'intervallo di valori della x che rendono positivi tutti i logaritmi.

$$ \begin{cases} x^2+1 > 0 \\ x>0 \end{cases} = \begin{cases} x^2 > -1 \\ x>0 \end{cases} $$

Pertanto, il campo di esistenza dell'equazione logaritmica è x>0.

Trasformo tutti i logaritmi alla stessa base.

$$ \log_2 (x^2+1) = \log_2 2 - \frac{ \log_2 x}{ \log_2 \frac{1}{2}} $$

Il logaritmo su base 2 di 1/2 è -1 perché 2^-1=1/2

$$ \log_2 (x^2+1) = \log_2 2 - \frac{ \log_2 x}{ -1 } $$

$$ \log_2 (x^2+1) = \log_2 2 + \log_2 x $$

Applico la regola della somma tra due logaritmi

$$ \log_2 (x^2+1) = \log_2 2 x $$

Elimino il logaritmo a entrambi i membri dell'equazione

$$ x^2+1 = 2 x $$

Si tratta di un'equazione di 2° grado.

$$ x^2 -2x +1 = 0 $$

L'equazione ha le seguenti soluzioni

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

La soluzione dell'equazione è compresa nel campo di definizione dell'equazione logaritmica (x>0).

Pertanto, la soluzione dell'equazione logaritmica è x=1.

E così via