Esempio di anello con divisori dello zero
Un esempio di anello con divisori dello zero è l'anello Z(+,*) delle classi di resto Z10 dei numeri interi con modulo 10.
L'anello Z10 ha due operazioni binarie:
- l'addizione (+)
- il resto con modulo 10 (*)
Esempio
| $$ 4+5=9 \\ 1+9=0 \\ 2+9=1 \\ 3+9=2 \\ 4+9=3 $$ | $$ 4*5=20=0mod(10) \\ 1*9=9=9mod(10) \\ 2*9=18=8mod(10) \\ 3*9=27=7mod(10) \\ 4*9=36=6mod(10)$$ |
Nota. Nell'aritmetica dell'orologio su base Zb la somma a+b è uguale al resto ottenuto dal multiplo della base b. Ad esempio, se b=10 la somma 8+1=9 ma la somma 9+1=0 perché non esiste la cifra 10 e si ricomincia da capo, 10 è un multiplo di b=10 con resto uguale a zero.
Si tratta di un anello perché rispetta le stesse proprietà dei numeri interi Z.
Tuttavia, l'anello Z10 non è un dominio di integrità perché esistono dei divisori dello zero.
Dati due numeri a,b di Z10, esistono elementi non nulli per cui l'operazione a*b è uguale a zero, ossia il resto è zero.
$$ 2*5=10=0mod(10) $$
$$ 4*5=20=0mod(10) $$
$$ 6*5=30=0mod(10) $$
$$ 8*5=40=0mod(10) $$
Quindi, i divisori dello zero nell'anello Z10 sono i numeri interi 2, 4, 5, 6, 8.
E così via.
