Come risolvere le disequazioni esponenziali con i logaritmi
In alcuni casi le disequazioni esponenziali $$ b^x > c $$ si possono risolvere usando i logaritmi con una base qualsiasi in entrambi i membri della disequazione.
Se la base del logaritmo è k>1 la disequazione con i logaritmi ha lo stesso verso
$$ b^x > c $$
$$ \log_k b^x > \log_k c $$
$$ x = \frac{\log_k c}{\log_k b} $$
Se la base del logaritmo è 0<k<1 la disequazione con i logaritmi ha verso opposto
$$ b^x > c $$
$$ \log_k b^x < \log_k c $$
$$ x < \frac{\log_k c}{\log_k b} $$
Nota. Questo metodo è applicabile purché entrambe i membri della disequazione esponenziale siano numeri positivi, poiché il logaritmo di un numero nullo o negativo non esiste.
Un esempio pratico
Considero la disequazione esponenziale
$$ 4^{3+x} > 7^{2-x} $$
E' una disequazione risolvibile con i logaritmi perché entrambi i membri della disequazione sono positivi.
La condizione di esistenza della disequazione è
$$ \begin{cases} x>-3 \\ \\ x<2 \end{cases} $$
Calcolo il logaritmo con una base qualsiasi a entrambi i membri.
Ad esempio il logaritmo naturale.
$$ \log 4^{3+x} > \log 7^{2-x} $$
Applico le proprietà dei logaritmi
$$ (3+x) \log 4 > (2-x) \log 7 $$
$$ 3 \log 4 + x \log 4 > 2 \log 7 - x \log 7 $$
$$ x \log 4 + x \log 7 > 2 \log 7 - 3 \log 4 $$
$$ x \cdot ( \log 4 + \log 7 ) > 2 \log 7 - 3 \log 4 $$
$$ x \cdot ( \log 4 + \log 7 ) > 2 \log 7 - 3 \log 4 $$
Divido entrambi i membri della disequazione per log 4 + log 7
Poiché log 4 + log 7 > 0 il verso della disequazione resta lo stesso.
$$ \frac{ x \cdot ( \log 4 + \log 7 ) }{\log 4 + \log 7} > \frac{ 2 \log 7 - 3 \log 4 }{\log 4 + \log 7} $$
$$ x > \frac{ 2 \log 7 - 3 \log 4 } { \log 4 + \log 7 } $$
Nota. In questo passaggio occorre fare molta attenzione al segno se il divisore è negativo. Ad esempio, se fosse log 4 – log 7 il divisore sarebbe negativo. In questi casi il verso della disequazione va invertito.
Volendo posso ulteriormente semplificare la disequazione sapendo che log 4 = log 22 = 2 log 2
$$ x > \frac{ 2 \log 7 - 3 \log 2^2 } { \log 2^2 + \log 7 } $$
$$ x > \frac{ 2 \log 7 – 3 \cdot 2 \log 2 } { 2 \log 2 + \log 7 } $$
$$ x > \frac{ 2 \log 7 – 6 \log 2 } { 2 \log 2 + \log 7 } $$
Questa è la soluzione della disequazione esponenziale
E così via.
