Criterio sufficiente di derivabilità
Sia \( f(x) \) una funzione continua nell'intervallo \([a,b] \) e derivabile nell'intervallo aperto \( (a,b) \), ad eccezione al più di un punto \(x_0 \in (a,b) \). Se \[ \lim_{x \to x_0^-} f'(x)=\lim_{x \to x_0^+} f'(x)=l \] allora la funzione è derivabile nel punto \( x_0 \) e la sua derivata vale \[ f'(x_0)=l \]
In altre parole, se la derivata tende allo stesso valore da sinistra e da destra e la funzione è continua, quel valore coincide con la derivata nel punto.
Si tratta di una condizione sufficiente per stabilire la derivabilità ma non necessaria. Una funzione può essere derivabile anche se non è possibile applicare questo criterio.
Per questo motivo il criterio rappresenta uno strumento molto utile, ma non è l'unico metodo per verificare la derivabilità di una funzione.
Perché il teorema è utile? Il criterio di derivabilità mi permette di stabilire se una funzione è derivabile in un punto conoscendo il comportamento della derivata nei punti vicini, senza calcolare direttamente il limite del rapporto incrementale. È particolarmente utile quando la derivata è già nota a sinistra e a destra del punto, mentre non è definita nel punto stesso. Per verificare la derivabilità in un punto di accumulazione si usa normalmente la definizione \[ f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \] Tuttavia, questo limite può essere difficile da calcolare. Se invece i limiti destro e sinistro della derivata esistono e coincidono, il criterio mi consente di concludere direttamente che la funzione è derivabile nel punto.
Un esempio pratico
Considero la funzione
$$ f(x)=x|x| $$
Voglio stabilire se è derivabile nel punto \(x_0=0\) utilizzando il criterio di derivabilità.
Per prima cosa riscrivo la funzione senza il valore assoluto.
$$ f(x)= \begin{cases} -x^2 & \text{se } x<0 \\ x^2 & \text{se } x\ge0 \end{cases} $$
La funzione è continua nel punto \(x=0\), perché
$$ \lim_{x\to0^-}(-x^2)=\lim_{x\to0^+}x^2=0=f(0) $$
Calcolo ora la derivata nei punti diversi da zero.
Per \(x<0\)
$$ f'(x)=-2x $$
Per \(x>0\)
$$ f'(x)=2x $$
La derivata esiste quindi in tutti i punti tranne, eventualmente, in \(x=0\).
Calcolo i limiti della derivata da sinistra e da destra.
Da sinistra
$$ \lim_{x\to0^-}(-2x)=0 $$
Da destra
$$ \lim_{x\to0^+}2x=0 $$
I due limiti esistono e coincidono.
Pertanto
$$ \lim_{x\to0^-}f'(x)= \lim_{x\to0^+}f'(x)=0 $$
Poiché la funzione è continua in \(0\), è derivabile per \(x\neq0\) e i limiti destro e sinistro della derivata coincidono, il criterio di derivabilità permette di concludere che
$$ f'(0)=0 $$
Non è stato necessario calcolare il limite del rapporto incrementale
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} $$
Il criterio ha consentito di stabilire la derivabilità della funzione osservando soltanto il comportamento della derivata nei punti vicini a \(0\).
Nota. In questo esempio la funzione è molto semplice. Il criterio diventa particolarmente utile quando la derivata è definita con espressioni più complesse e il rapporto incrementale sarebbe molto più difficile da calcolare.
Esempio 2
Considero la funzione
$$ f(x)= \begin{cases} \sin x+x^2 & \text{se } x<0 \\ x & \text{se } x\ge0 \end{cases} $$
Voglio stabilire se è derivabile nel punto \(x_0=0\) utilizzando il criterio sufficiente di derivabilità.
Per prima cosa verifico la continuità.
La funzione è continua nel punto \(x=0\) poiché
$$ \lim_{x\to0^-}(\sin x+x^2)=\lim_{x\to0^+}x=0=f(0) $$
Calcolo ora la derivata nei punti diversi da zero.
Per \(x<0\)
$$ f'(x)=\cos x+2x $$
Per \(x>0\)
$$ f'(x)=1 $$
La derivata esiste quindi in tutti i punti tranne, eventualmente, in \(x=0\).
Calcolo i limiti della derivata.
Da sinistra
$$ \lim_{x\to0^-}(\cos x+2x)=1 $$
Da destra
$$ \lim_{x\to0^+}1=1 $$
I due limiti esistono e coincidono.
$$ \lim_{x\to0^-}f'(x)= \lim_{x\to0^+}f'(x)=1 $$
Poiché la funzione è continua in \(0\), è derivabile per \(x\neq0\) e i limiti destro e sinistro della derivata coincidono, il criterio sufficiente di derivabilità mi permette di concludere che
$$ f'(0)=1 $$
Non è stato necessario calcolare il limite del rapporto incrementale
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} $$
Il criterio ha consentito di stabilire la derivabilità della funzione osservando soltanto il comportamento della derivata nei punti vicini a \(0\).
Dimostrazione
Per ipotesi iniziale la funzione \( f(x) \) è continua nell'intervallo \( [a,b] \) e derivabile in \( (a,b) \) ad eccezione al più di un punto \(x_0 \in (a,b) \). Inoltre, preso un punto \( x_0 \) vale la condizione
$$ \lim_{x \to x_0^-} f'(x)=\lim_{x \to x_0^+} f'(x)=l $$
Devo dimostrare che la funzione è derivabile in \( x_0 \) e la sua derivata vale \[ f'(x_0)=l \]
Considero dapprima un punto \( x<x_0 \).
La funzione è continua nell'intervallo chiuso \( [x,x_0] \) ed è derivabile nell'intervallo aperto \( (x,x_0) \). Pertanto è possibile applicare il teorema di Lagrange.
Esiste quindi almeno un punto
\[ c\in]x,x_0[ \]
tale che
\[ \frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=f'(c) \]
Faccio tendere \(x \) a \(x_0 \) da sinistra.
Il primo membro diventa
\[ \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x_0)-f(x)}{x_0-x}=f'_-(x_0) \]
ossia la derivata sinistra della funzione nel punto.
Poiché il punto \( c \) appartiene sempre all'intervallo \( ]x,x_0[ \), quando \( x \) tende a \( x_0 \) anche \( c \) tende a \( x_0 \) da sinistra.
Per ipotesi
\[ \lim_{c\to x_0^-}f'(c)=l \]
Di conseguenza
\[ f'_-(x_0)=l \]
Si ripete lo stesso ragionamento scegliendo un punto \( x>x_0 \).
Applicando nuovamente il teorema di Lagrange nell'intervallo ([x_0,x]), si ottiene
\[ f'_+(x_0)=l \]
Le derivate destra e sinistra esistono e coincidono.
Pertanto
\[ f'(x_0)=l \]
Questo conclude la dimostrazione.
Interpretazione geometrica. La derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione. Se i coefficienti angolari delle tangenti nei punti vicini a \( x_0 \) tendono allo stesso valore sia da sinistra sia da destra, allora anche la tangente nel punto \( x_0 \) possiede lo stesso coefficiente angolare. Di conseguenza la funzione è derivabile nel punto.
E così via.
