Gruppo generale lineare
Il gruppo lineare generale
In algebra lineare il gruppo lineare generale (GL) è l'insieme delle matrici invertibili di ordine n in un campo K. E' anche detto anche gruppo di matrici ed è indicato con GL(n,K) oppure GLn(K).
Il gruppo lineare generale venne calcolato per la prima volta nel 1832 da Évariste Galois.
Una matrice è invertibile quando è non singolare ossia quando il suo determinante è diverso da zero.
Pertanto, la notazione del gruppo lineare generale (GL) delle matrici reali invertibili di ordine n può essere definita nel seguente modo:
Spiegazione. Una qualsiasi matrice A appartenente alle matrici reali di ordine n con determinante diverso da zero, appartiene al gruppo lineare generale GL.
Esempio
La seguente matrice appartiene al gruppo lineare generale di ordine 2.
Il gruppo lineare speciale
Il gruppo lineare speciale (SL) delle matrici quadrate reali di ordine n con determinante uguale a uno. E' un sottogruppo di GL.
Il gruppo lineare speciale è indicato con SL(n,K) oppure SLn(K)
Spiegazione. Una qualsiasi matrice A appartenente al gruppo lineare generale GL di ordine n, con determinante uguale a uno, appartiene anche al gruppo lineare speciale SL di ordine n.
Esempio
La seguente matrice appartiene al gruppo speciale lineare di ordine 2.
Il gruppo speciale ortogonale
Il gruppo speciale ortogonale è un sottogruppo del gruppo lineare generale SLn di ordine n, composto dalle matrici ortogonali reali di ordine n con determinante uguale a 1.
E' indicato con il simbolo SOn.
Il gruppo speciale ortogonale è l'intersezione del gruppo lineare speciale SLn di ordine n con l'insieme On delle matrici ortogonali di ordine n.
La differenza tra il gruppo speciale ortogonale e il gruppo generale ortogonale. Il gruppo speciale ortogonale SOn è un sottogruppo del gruppo lineare speciale SLn. Il gruppo generale ortogonale On è invece composto da tutte le matrici ortogonali con determinante uguale a +1 oppure -1. Il gruppo generale ortogonale On è un sottogruppo del gruppo lineare generale GLn di ordine n.
Esempio
La matrice che segue appartiene al gruppo speciale ortogonale SO2 di ordine 2.
