Il calcolo della matrice inversa con algoritmo Gauss-Jordan

In questa pagina utilizzo l'algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan per calcolare la matrice inversa A-1 della matrice invertibile A.

Cos'è l'algoritmo di Gauss-Jordan? E' un metodo che permette di trasformare una matrice in una forma a scalini o a gradini.

Come calcolare la matrice inversa con Gauss-Jordan

Si affianca la matrice invertibile alla matrice identità, formando così un'unica matrice rettangolare AI.

metodo Gauss-Jordan

Poi si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan per trasformare la matrice AI in una matrice IA-1.

Nota. Le mosse consentite da Gauss per trasformare in i valori sulla diagonale principale sono le seguenti: lo scambio di posto tra due righe, la moltiplicazione di una riga per un numero reale k diverso da zero, la somma tra due righe. Le operazioni possono anche essere combinate tra loro. Poi si applica l'algoritmo Gauss-Jordan per azzerare gli altri valori.
le mosse di Gauss

Se questo è possibile, se riesco a spostare la matrice identità a sinistra, allora la matrice quadrata più a destra è la matrice inversa di A.

il calcolo della matrice inversa

L'algoritmo di Gauss-Jordan definisce la sequenza delle operazioni da compiere.

Qual è la differenza tra l'algoritmo di Gauss-Jordan e il metodo di Gauss? In entrambi i casi bisogna spostare la matrice identità dalla sezione di destra a quella di sinistra per calcolare la matrice inversa. Tuttavia, con il metodo di Gauss posso scegliere liberamente quali operazioni compiere e in quale sequenza per calcolare "a mano" la matrice inversa. L'algoritmo di Gauss-Jordan, invece, definisce la sequenza di operazioni da compiere passo dopo passo. E' quindi più adatto per il calcolo computazionale automatico.

Un esempio pratico

Data la seguente matrice quadrata A voglio calcolare la sua matrice inversa A-1

la matrice invertibile

Aggiungo sulla destra una matrice identità I di pari grado, ossia 2.

la matrice con la matrice identità ( unitaria ) aggiunta sulla destra

A questo punto devo trovare un modo, se esiste, per spostare la matrice identità sulla sinistra, usando le mosse di Gauss e l'algoritmo di Gauss-Jordan.

prima mossa di Gauss

In questo modo ottengo il primo uno della diagonale principale sulla sinistra ( pivot ).

il primo uno della diagonale

Ora devo azzerare i valori sottostanti al pivot, in questo caso il valore -1, applicando la formula dell'algoritmo di Gauss-Jordan.

Dove qj è l'elemento da azzerare (-1), pk è il pivot della colonna (1) e Ri e Rk sono rispettivamente tutti i valori della riga da azzerare e la riga del pivot.

Come prima cosa calcolo il rapporto qj/pk = -1

il rapporto tra l'elemento da azzerare e il pivot

Quindi applico la formula R2 - (qj/pk)·R1 su tutti i valori della seconda riga, quella in cui c'è l'elemento da azzerare.

L'elemento tra parentesi (-1) è il rapporto qj/pk costante per tutte le colonne.

applico l'algoritmo di Gauss-Jordan alla seconda riga

In questo modo ho azzerato i valori della colonna sotto il pivot.

La prima colonna è sistemata.

Passo alla seconda colonna e cerco di trasformare il secondo pivot della diagonale da 3 a 1.

Per farlo applico un'altra mossa di Gauss, moltiplico tutti i valori della seconda riga R2 per il numero reale 1/3.

Ho così ottenuto il secondo pivot, ossia il secondo uno sulla diagonale principale della matrice identità a sinistra.

la seconda mossa di Gauss

Nella colonna del secondo pivot c'è soltanto un elemento diverso da zero, è il numero due sulla prima riga.

Per azzerarlo applico l'algoritmo di Gauss-Jordan R1 - (qj/pk)·Rk su tutti i valori della prima riga.

In questo caso il rapporto (qj/pk) è uguale a 2 perché qj=2 e pk=1.

il calcolo del rapporto tra l'elemento da azzerare e il pivot della colonna

Ora applico la formula R1 - (qj/pk)·R2 su tutti i valori della prima riga, quella in cui c'è l'elemento da azzerare.

L'elemento tra parentesi (2) è il rapporto qj/pk costante per tutte le colonne.

il calcolo dell'algoritmo di Gauss-Jordan sulla prima riga

Così facendo ho azzerato il numero 2 sulla seconda colonna.

la matrice dopo il calcolo

Con quest'ultima operazione ho completato la matrice identità sulla sinistra.

Pertanto, posso affermare che la matrice A è una matrice invertibile.

La matrice quadrata sulla destra della matrice identità è la matrice inversa A-1.

il risultato finale

Quindi la matrice inversa di A è la seguente:

la matrice inversa di A

Per una rapida verifica basta moltiplicare la matrice A per la matrice inversa A-1.

Il prodotto AA-1 è la matrice identità I.

la verifica

Nota. Ho svolto questo esercizio anche con gli altri metodi di calcolo della matrice inversa giungendo comunque allo stesso risultato finale.

 


 

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