Esercizio calcolo matrice inversa 1

Devo calcolare la matrice inversa di questa matrice

$$ A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Per farlo utilizzo il metodo di Gauss

Affianco alla matrice la matrice identità I

$$ A | I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Poi uso le regole di Gauss per spostare la matrice identità nel riquadro a sinistra

Moltiplico per 1/4 la prima riga (R1=R1*1/4)

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Scambio di posto la seconda e la terza riga (R2⇔R3)

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Sottraggo alla seconda riga la terza riga (R2=R2-R3)

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0-0 & 1-0 & 2-2 & 0-0 & | & 0-0 & 0-1 & 1-0 & 0-0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 &| & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Sottraggo alla quarta riga la prima riga (R4=R4-R1)

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1-1 & 1-0 & 0-0 & 1-0 &| & 0 - \frac{1}{4} & 0-0 & 0-0 & 1-0 \end{pmatrix} $$

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 &| & - \frac{1}{4} & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Sottraggo alla quarta riga la seconda riga (R4=R4-R2)

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0-0 & 1-1 & 0-0 & 1-0 &| & - \frac{1}{4}-0 & 0-(-1) & 0-1 & 1-0 \end{pmatrix} $$

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & - \frac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Moltiplico per 1/2 la terza riga (R2=R2*1/2)

$$ A | I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 &| & - \frac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Ho ottenuto la matrice identità I nel primo riquadro.

La matrice quadrata nel secondo riquadro è la matrice inversa di A

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ - \frac{1}{4} & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

E così via.