Moto circolare uniformemente accelerato

Il moto circolare uniformemente accelerato è un moto circolare non uniforme in cui l'accelerazione angolare (α) è costante e diversa da zero. $$α = k$$

Le formule del moto

Le principali formule del moto circolare uniformemente accelerato sono

La legge oraria angolare

$$o = α \cdot \frac{t^2}{2} + ω_0 \cdot t + θ_0$$

La velocità angolare

$$ω = α \cdot t + ω_0$$

L'accelerazione angolare

$$α = k$$

Dimostrazione e spiegazione

In un moto circolare l'accelerazione angolare è una costante non nulla.

$$α = k$$

La velocità

L'accelerazione angolare è la derivata della velocità angolare rispetto al tempo.

$$α= \frac{d \: ω }{dt}$$

Pertanto, essendo l'accelerazione angolare una costante non nulla, per ricavare la formula della velocità angolare posso integrare l'accelerazione angolare rispetto al tempo.

$$ω = \int_{t_0}^t α \: dt = αt + k$$

Dove la costante k è la velocità angolare iniziale ω₀.

$$ω = \int_{t_0}^t α \: dt = αt + k = αt + ω_0$$

Quindi, la formula della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato è

$$ω = α \cdot t + ω_0$$

La legge oraria angolare

La velocità angolare è la derivata della legge oraria angolare.

$$ω= \frac{d \: θ }{dt}$$

Quindi, per ottenere la formula del moto nello spazio mi basta integrare la formula della velocità angolare.

$$θ = \int_{t_0}^t ω \: dt$$

$$θ = \int_{t_0}^t αt + ω_0 \: dt$$

$$θ = ω_0 + α \cdot \frac{t^2}{2} + k$$

In questo caso k è la posizione angolare iniziale θ₀.

$$θ = ω_0 \cdot t + α \cdot \frac{t^2}{2} + θ_0$$

Quindi, la legge oraria angolare del moto uniformemente accelerato è

$$θ = α \cdot \frac{t^2}{2} + ω_0 \cdot t + θ_0$$

L'accelerazione normale e tangenziale

Nel moto circolare uniformemente accelerato l'accelerazione tangenziale è una costante non nulla ed è pari all'accelerazione angolare. $$a_T = α$$

L'accelerazione normale (centripeta) è, invece, uguale al quadrato della velocità angolare per il raggio $$a_N = ω^2 R$$

Poiché l'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare (ω), posso scrivere la precedente formula anche in questa forma equivalente

$$a_N= (αt + ω_0)^2 \cdot R$$

Dove αt+ω₀ è l'integrale dell'accelerazione angolare α ed è pari alla velocità angolare (ω).

Dimostrazione. In un moto circolare l'accelerazione (a) è composta dall'accelerazione tangenziale e normale. $$a = a_T + a_n$$ Dove l'accelerazione tangenziale (a_T) è la derivata della velocità angolare (ω) per il raggio (R) $$a_T = R \frac{d \: ω}{dt}$$ e la velocità normale (a_N) è il quadrato della velocità angolare (ω) per il raggio (R) $$a_N = R \cdot ω^2$$ Poiché l'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare α=dω/dt, deduco che l'accelerazione angolare è uguale all'accelerazione tangenziale per il raggio. $$a_T = R \frac{d \: ω}{dt} = R \cdot α$$ Considerando un raggio unitario R=1 anche l'uguaglianza a_T=α è dimostrata.

E' quindi importante non confondere l'accelerazione angolare (α) con l'accelerazione (a).

E così via.