Moto circolare uniformemente accelerato

Il moto circolare uniformemente accelerato è un moto circolare non uniforme in cui l'accelerazione angolare (α) è costante e diversa da zero. $$ α = k $$

Le formule del moto

Le principali formule del moto circolare uniformemente accelerato sono

La legge oraria angolare

$$ o = α \cdot \frac{t^2}{2} + ω_0 \cdot t + θ_0 $$

La velocità angolare

$$ ω = α \cdot t + ω_0 $$

L'accelerazione angolare

$$ α = k $$

Dimostrazione e spiegazione

In un moto circolare l'accelerazione angolare è una costante non nulla.

$$ α = k $$

La velocità

L'accelerazione angolare è la derivata della velocità angolare rispetto al tempo.

$$ α= \frac{d \: ω }{dt} $$

Pertanto, essendo l'accelerazione angolare una costante non nulla, per ricavare la formula della velocità angolare posso integrare l'accelerazione angolare rispetto al tempo.

$$ ω = \int_{t_0}^t α \: dt = αt + k $$

Dove la costante k è la velocità angolare iniziale ω0.

$$ ω = \int_{t_0}^t α \: dt = αt + k = αt + ω_0 $$

Quindi, la formula della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato è

$$ ω = α \cdot t + ω_0 $$

La legge oraria angolare

La velocità angolare è la derivata della legge oraria angolare.

$$ ω= \frac{d \: θ }{dt} $$

Quindi, per ottenere la formula del moto nello spazio mi basta integrare la formula della velocità angolare.

$$ θ = \int_{t_0}^t ω \: dt $$

$$ θ = \int_{t_0}^t αt + ω_0 \: dt $$

$$ θ = ω_0 + α \cdot \frac{t^2}{2} + k $$

In questo caso k è la posizione angolare iniziale θ0.

$$ θ = ω_0 \cdot t + α \cdot \frac{t^2}{2} + θ_0 $$

Quindi, la legge oraria angolare del moto uniformemente accelerato è

$$ θ = α \cdot \frac{t^2}{2} + ω_0 \cdot t + θ_0 $$

L'accelerazione normale e tangenziale

Nel moto circolare uniformemente accelerato l'accelerazione tangenziale è una costante non nulla ed è pari all'accelerazione angolare. $$ a_T = α $$

L'accelerazione normale (centripeta) è, invece, uguale al quadrato della velocità angolare per il raggio $$ a_N = ω^2 R $$

Poiché l'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare (ω), posso scrivere la precedente formula anche in questa forma equivalente

$$ a_N= (αt + ω_0)^2 \cdot R $$

Dove αt+ω0 è l'integrale dell'accelerazione angolare α ed è pari alla velocità angolare (ω).

Dimostrazione. In un moto circolare l'accelerazione (a) è composta dall'accelerazione tangenziale e normale. $$ a = a_T + a_n $$ Dove l'accelerazione tangenziale (aT) è la derivata della velocità angolare (ω) per il raggio (R) $$ a_T = R \frac{d \: ω}{dt} $$ e la velocità normale (aN) è il quadrato della velocità angolare (ω) per il raggio (R) $$ a_N = R \cdot ω^2 $$ Poiché l'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare α=dω/dt, deduco che l'accelerazione angolare è uguale all'accelerazione tangenziale per il raggio. $$ a_T = R \frac{d \: ω}{dt} = R \cdot α $$ Considerando un raggio unitario R=1 anche l'uguaglianza aT=α è dimostrata.

E' quindi importante non confondere l'accelerazione angolare (α) con l'accelerazione (a).

E così via.


 
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