Moto circolare uniformemente accelerato
Il moto circolare uniformemente accelerato è un moto circolare non uniforme in cui l'accelerazione angolare (α) è costante e diversa da zero. $$ α = k $$
Le formule del moto
Le principali formule del moto circolare uniformemente accelerato sono
La legge oraria angolare
$$ o = α \cdot \frac{t^2}{2} + ω_0 \cdot t + θ_0 $$
La velocità angolare
$$ ω = α \cdot t + ω_0 $$
L'accelerazione angolare
$$ α = k $$
Dimostrazione e spiegazione
In un moto circolare l'accelerazione angolare è una costante non nulla.
$$ α = k $$
La velocità
L'accelerazione angolare è la derivata della velocità angolare rispetto al tempo.
$$ α= \frac{d \: ω }{dt} $$
Pertanto, essendo l'accelerazione angolare una costante non nulla, per ricavare la formula della velocità angolare posso integrare l'accelerazione angolare rispetto al tempo.
$$ ω = \int_{t_0}^t α \: dt = αt + k $$
Dove la costante k è la velocità angolare iniziale ω0.
$$ ω = \int_{t_0}^t α \: dt = αt + k = αt + ω_0 $$
Quindi, la formula della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato è
$$ ω = α \cdot t + ω_0 $$
La legge oraria angolare
La velocità angolare è la derivata della legge oraria angolare.
$$ ω= \frac{d \: θ }{dt} $$
Quindi, per ottenere la formula del moto nello spazio mi basta integrare la formula della velocità angolare.
$$ θ = \int_{t_0}^t ω \: dt $$
$$ θ = \int_{t_0}^t αt + ω_0 \: dt $$
$$ θ = ω_0 + α \cdot \frac{t^2}{2} + k $$
In questo caso k è la posizione angolare iniziale θ0.
$$ θ = ω_0 \cdot t + α \cdot \frac{t^2}{2} + θ_0 $$
Quindi, la legge oraria angolare del moto uniformemente accelerato è
$$ θ = α \cdot \frac{t^2}{2} + ω_0 \cdot t + θ_0 $$
L'accelerazione normale e tangenziale
Nel moto circolare uniformemente accelerato l'accelerazione tangenziale è una costante non nulla ed è pari all'accelerazione angolare. $$ a_T = α $$
L'accelerazione normale (centripeta) è, invece, uguale al quadrato della velocità angolare per il raggio $$ a_N = ω^2 R $$
Poiché l'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare (ω), posso scrivere la precedente formula anche in questa forma equivalente
$$ a_N= (αt + ω_0)^2 \cdot R $$
Dove αt+ω0 è l'integrale dell'accelerazione angolare α ed è pari alla velocità angolare (ω).
Dimostrazione. In un moto circolare l'accelerazione (a) è composta dall'accelerazione tangenziale e normale. $$ a = a_T + a_n $$ Dove l'accelerazione tangenziale (aT) è la derivata della velocità angolare (ω) per il raggio (R) $$ a_T = R \frac{d \: ω}{dt} $$ e la velocità normale (aN) è il quadrato della velocità angolare (ω) per il raggio (R) $$ a_N = R \cdot ω^2 $$ Poiché l'accelerazione angolare (α) è la derivata della velocità angolare α=dω/dt, deduco che l'accelerazione angolare è uguale all'accelerazione tangenziale per il raggio. $$ a_T = R \frac{d \: ω}{dt} = R \cdot α $$ Considerando un raggio unitario R=1 anche l'uguaglianza aT=α è dimostrata.
E' quindi importante non confondere l'accelerazione angolare (α) con l'accelerazione (a).
E così via.
