Gli enunciati aperti
Un enunciato aperto (o proposizione aperta) è un enunciato in cui è presente almeno una variabile (x) a cui posso assegnare un valore scelto in un insieme di riferimento detto universo (U).
Per indicare gli enunciati aperti si usano le lettere maiuscole, indicando le variabili tra parentesi tonde. Ad esempio.
$$ A(x) \ , \ B(x) \ , \ P(x,y) , ecc. $$
Non posso affermare se un enunciato aperto è vero o falso, prima di aver assegnato un valore alla variabile.
Dopo aver assegnato un valore di verità alla variabile, l'enunciato aperto si trasforma in una proposizione vera o falsa.
Nota. In questi miei appunti uso i termini "enunciato" e "proposizione" come sinonimi. Pertanto, quando scrivo "enunciato aperto" o "proposizione aperta" intendo la stessa cosa.
Un esempio pratico
Questa proposizione è un enunciato aperto perché è presente una variabile (x) nella proposizione.
$$ P(x): \ "\text{ Il numero intero x è un numero primo} " $$
In questo caso l'insieme universo dei valori della variabile x è l'insieme dei numeri interi.
A seconda del valore che assegno alla variabile x, l'enunciato aperto P(x) si trasforma in una proposizione P vera o falsa.
Ad esempio, se x=7 la proposizione P è vera perché 7 è un numero primo.
$$ x=7 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=V $$
Viceversa, se x=4 o x=6 la proposizione P è falsa perché 4 e 7 non sono numeri primi.
$$ x=4 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=F $$
Esempio 2
Questa proposizione composta è un enunciato aperto perché sono presenti due variabili
$$ P(x): \ " \text{I numeri interi x e y sono numeri relativamente primi}" $$
L'insieme di verità (universo) di entrambe le variabili x e y è l'insieme dei numeri interi.
Nota. Due numeri sono detti relativamente primi (o co-primi) se non hanno altri divisori in comune oltre il numero 1.
In questo caso per trasformare l'enunciato aperto P(x) in una proposizione P vera o falsa devo assegnare due valori di verità x e y.
Ad esempio, se x=8 e y=9 l'enunciato aperto P(x) diventa una proposizione P vera, perché 8 e 9 sono relativamente primi.
$$ x=8 \ , y=9 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=V $$
Se x=8 e y=12 l'enunciato aperto P(x) diventa una proposizione P falsa, perché 8 e 12 sono entrambi divisibili per due e per quattro. Quindi non sono numeri relativamente primi.
$$ x=8 \ , y=12 \ \ \Rightarrow \ \ P(x)=F $$
L'insieme di verità
L'insieme di verità è l'insieme dei valori x dell'universo U che trasforma l'enunciato aperto P(x) in una proposizione vera P=V. $$ A = \{ \forall \ x \in U \ | \ P(x)=V \} $$
L'insieme dei valori che trasforma l'enunciato aperto in una proposizione falsa è, invece, l'insieme complementare A\U all'insieme di verità A rispetto all'insieme universo U.
$$ B = A \text{ \ } U $$
Esempio
Considero questo enunciato aperto
$$ P(x): \ "\text{Il numero intero positivo x è un divisore di 10}" $$
In questo caso l'insieme universo (U) dei valori assegnabili alla variabile x è l'insieme dei numeri interi positivi
$$ U = Z^+ $$
L'insieme di verità è un insieme finito composto dai divisori interi di 10.
$$ A = \{ 1,2,5,10 \} $$
Questi valori trasformano l'enunciato aperto P(x) in una proposizione vera.
$$ \forall \ x \ \in A \ \Rightarrow \ P(x)=V $$
L'insieme complementare di A rispetto all'insieme universo è, invece, l'insieme dei valori che rendono falso l'enunciato aperto P(x)
$$ A \text{ \ } U = \{ 3,4,6,7,8,9,11,12,... \} $$
Ogni valore dell'insieme complementare A\U trasforma l'enunciato aperto P(x) in una proposizione falsa.
$$ \forall \ x \ \in A \text{ \ } U \ \Rightarrow \ P(x)=F $$
E così via.
