L'equivalenza logica

Due o più espressioni logiche A e B sono espressioni equivalenti quando hanno gli stessi valori in uscita nella tavola di verità. $$ A = B $$ Per rappresentare l'equivalenza logica si usa il simbolo uguale (=).

Il criterio di equivalenza logica è molto importante perché mi permette di semplificare i costrutti logici.

Ha diverse applicazioni pratiche.

Ad esempio, in elettronica mi è utile per semplificare i circuiti combinatori.

Un esempio pratico

Esempio 1

Considero le proposizioni semplici

$$ A = \text{vado al mare} $$

$$ B = \text{vado in montagna} $$

e le proposizioni composte

$$ A∨B = \text{vado al mare o in montagna} $$

$$ B∨A = \text{vado in montagna o al mare} $$

Le proposizioni composte A∨B e B∨A sono espressioni equivalenti perché generano gli stessi valori di verità.

$$ \begin{array}{cr|c} p & q & A∨B & B∨A \\ \hline F & F & F & F \\ F & V & V & V \\ V & F & V & V \\ V & V & V & V \end{array} $$

I valori di verità in uscita della tavola sono identici (terza e quarta colonna).

Nota. Per essere equivalenti le espressioni devono avere i valori di verità in uscita uguali (terza e quarta colonna). $$ \begin{array}{cr|c} p & q & A∨B & B∨A \\ \hline F & F & \color{red}F & \color{red}F \\ F & V & \color{red}V & \color{red}V \\ V & F & \color{red}V & \color{red}V \\ V & V & \color{red}V & \color{red}V \end{array} $$ Le combinazioni dei valori di verità in entrata, in questo caso la prima e la seconda colonna della tavola, possono anche essere diversi.

Nota 2. In questo esempio per semplicità ho usato la disgiunzione inclusiva (or) anziché la disgiunzione esclusiva (xor) che sarebbe stata più propriamente adatta. Per questa ragione nella tavola di verità risulta vera anche l'affermazione "vado al mare e in montagna" (ultima riga). In ogni caso, anche usando la disgiunzione esclusiva le due proposizioni sarebbero state equivalenti.$$ \begin{array}{cr|c} p & q & A \ \dot{∨} \ B & B \ \dot{∨} \ A \\ \hline F & F & F & F \\ F & V & V & V \\ V & F & V & V \\ V & V & F & F \end{array} $$

Esempio 2

Considero due proposizioni composte A∧B e (A∧B)∨A

Le due espressioni A∧B e (A∧B)∨A non sono equivalenti perché hanno valori di verità diversi.

$$ \begin{array}{cr|c} p & q & A∧B & (A∧B)∨A \\ \hline F & F & F & F \\ F & V & F & F \\ V & F & F & V \\ V & V & V & V \end{array} $$

Tuttavia, le proposizioni A (prima colonna) e (A∧B)∨A (quarta colonna) sono equivalenti perché manifestano gli stessi valori di verità.

Pertanto, posso sostituire l'espressione (A∧B)∨A con la proposizione semplice A e ottenere lo stesso risultato finale.

E così via.