Teorema della risposta armonica
Un sistema lineare stazionario con funzione di trasferimento razionale fratta avente poli reali negativi, se sollecitato da un segnale di ingresso sinusoidale x(t), restituisce a regime una risposta sinusoidale (risposta armonica) di pari frequenza.
$$ F(w) = G(jw) $$
Dimostrazione
Se i poli reali sono negativi, il sistema lineare è asintoticamente stabile.
Questo vuol dire che ogni perturbazione causata dai segnali di ingresso tende ad annullarsi nel corso del tempo.
Il segnale di ingresso sinusoidale è
$$ x(t) = X \cdot \sin wt $$
Calcolo la trasformata di Laplace del segnale
$$ X(s) = \frac{Xw}{s^2+w^2} $$
Il segnale di uscita del sistema è
$$ Y(s)=G(s)\cdot X(s) $$
Dove G(s) è la funzione di trasferimento.
Sostituisco X(s) con la L-trasformata di x(t)
$$ Y(s)=G(s)\cdot X(s) $$
$$ Y(s)=G(s)\cdot \frac{Xw}{s^2+w^2} $$
$$ Y(s)=G(s)\cdot \frac{Xw}{(s-p_1)(s-p_2)} $$
Dove
$$ p_1 = jw \\ p_2 = -jw $$
L'antitrasformata della funzione è
$$ y(t) = y_0 + y_1 $$
Dove y0 è l'evoluzione libera e y1 è l'evoluzione forzata.
L'equazione dell'evoluzione forzata è
$$ y_1(s) = \frac{K_1 }{ s-p_1} + \frac{K_2 }{ s-p_2} $$
$$ y_1(s) = \frac{K_1 }{ s-jw} + \frac{K_2 }{ s+jw} $$
Calcolo l'anti-trasformata e ottengo
$$ y_1(t) = K_1 \cdot e^{jwt} + K_2 \cdot e^{-jwt} $$
Ora calcolo i residui
$$ K_1 = \frac{F(s)}{s+p_1} |_{s=p_1} \\ K_2 = \frac{F(s)}{s+p_2} |_{s=p_2} $$
Essendo F(s) = G(s)·X(s)
$$ K_1 =G(s)· \frac{X(s)}{s+p_1} |_{s=p_1} \\ K_2 = G(s)· \frac{X(s)}{s+p_2} |_{s=p_2} $$
Considerando i poli p1=jw e p2=-jw.
$$ K_1 =G(s)· \frac{Xw}{s+jw} |_{s=jw} \\ K_2 = G(s)· \frac{Xw}{s-jw} |_{s=-jw} $$
sostituisco s con i rispettivi poli e ottengo
$$ K_1 =G(jw)· \frac{Xw}{jw+jw} \\ K_2 = G(-jw)· \frac{Xw}{-jw-jw} $$
quindi
$$ K_1 =G(jw)· \frac{Xw}{2jw} \\ K_2 = G(-jw)· \frac{Xw}{-2jw} $$
Ora sostituisco i residui nella L-trasformata
$$ y_1(t) = K_1 \cdot e^{jwt} + K_2 \cdot e^{-jwt} $$
$$ y_1(t) = G(jw)· \frac{Xw}{2jw} \cdot e^{jwt} + G(-jw)· \frac{Xw}{-2jw} \cdot e^{-jwt} $$
$$ y_1(t) = G(jw)· \frac{Xw}{2jw} \cdot e^{jwt} + G(-jw)· \frac{-Xw}{2jw} \cdot e^{-jwt} $$
La generica trasformata di Laplace delle G(jw) e G(jw) è
$$ G(jw)=|G(jw)|\cdot e^{jφ(w)} $$
$$ G(-jw)=|G(jw)|\cdot e^{-jφ(w)} $$
Quindi le sostituisco nella y1
$$ y_1(t) = G(jw)· \frac{Xw}{2jw} \cdot e^{jwt} + G(-jw)· \frac{-Xw}{2jw} \cdot e^{-jwt} $$
$$ y_1(t) = |G(jw)|\cdot e^{jφ(w)} · \frac{Xw}{2jw} \cdot e^{jwt} + |G(jw)|\cdot e^{-jφ(w)} · \frac{-Xw}{2jw} \cdot e^{-jwt} $$
$$ y_1(t) = |G(jw)| \cdot \frac{X}{2j} \cdot e^{jφ(w)+jwt} + |G(jw)|\cdot \frac{-X}{2j} \cdot e^{-jφ(w)-jwt} $$
$$ y_1(t) = |G(jw)| \cdot \frac{X}{2j} \cdot e^{j(φ(w)+wt)} + |G(jw)|\cdot \frac{-X}{2j} \cdot e^{-j(φ(w)+wt)} $$
$$ y_1(t) = |G(jw)| \cdot X \cdot \frac{e^{j(φ(w)+wt)} - e^{-j(φ(w)+wt) } }{2j} $$
$$ y_1(t) = |G(jw)| \cdot X \cdot \sin φ(w)+wt $$
A questo punto posso sostituire y0 e y1 nella risposta
$$ y(t) = y_0 + y_1 $$
$$ y(t) = y_0 + |G(jw)| \cdot X \cdot \sin φ(w)+wt $$
Trascurando l'evoluzione libera y0 per valori t molto elevati diventa
$$ y(t) \approx |G(jw)| \cdot X \cdot \sin φ(w)+wt $$
Questo dimostra che la risposta di un sistema lineare asintoticamente stabile un ingresso armonico è una risposta armonica di pari frequenza (w).
E così via.
