Risposta armonica e risposta a impulso
La funzione di risposta all'impulso caratterizza il comportamento dinamico del sistema. E' però difficile da calcolare. Per questa ragione conviene dedurla da una funzione armonica, in quanto la funzione armonica è più semplice da sperimentare.
In un sistema armonico la trasformata e l'antitrasformata di Laplace sono date dalle seguenti relazioni
$$ F(s) = \int_0^∞ f(t) \cdot e^{-st} dt $$
$$ f(t) = \frac{1}{2πj} \int_{σ_0-j∞}^{σ_0+j∞} F(s) \cdot e^{st} ds $$
Se il sistema è asintoticamente stabile le relazioni precedenti sono applicabili alla risposta all'impulso g(t) e alla funzione di trasferimento G(s) assegnando s=jw.
$$ s=jw $$
Quindi
$$ G(jw) = \int_0^∞ g(t) \cdot e^{-jwt} \:\:dt $$
$$ g(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} G(jw) \cdot e^{jwt} \:\:dw $$
Sono la trasformata e l'antitrasformata di Fourier.
Poiché la funzione G(jw) è una funzione complessa, posso suddividerla nella parte reale e immaginaria
$$ G(jw) = R(w) + j \cdot I (w) $$
dove R(w) e I(w) sono due integrali reali
$$ R(w) = \int_0^∞ g(t) \cos wt \:\: dt $$
$$ I(w) = - \int_0^∞ g(t) \sin wt \:\:dt $$
In questo modo riconduco il calcolo in due integrali reali.
La funzione g(t) ha tra gli argomenti la funzione complessa G(jw).
Tuttavia, posso semplificare il calcolo
$$ G(jw) \cdot e^{jwt} = $$
$$ = [R(w)+j \cdot I(w)] \cdot e^{jwt} $$
$$ = [R(w)+j \cdot I(w)] \cdot ( \cos wt + j \cdot \sin wt ) $$
$$ = R(w) \cdot \cos wt + j^2 \cdot I(w) \cdot \sin wt + R(w) \cdot j \cdot \sin wt + j \cdot I(w) \cdot \cos wt $$
Nota. Per la proprietà dei numeri complessi l'unità immaginaria j2 al quadrato è uguale a -1.
$$ = R(w) \cdot \cos wt - I(w) \cdot \sin wt + j \cdot [ R(w) \cdot j \cdot \sin wt + I(w) \cdot \cos wt ] $$
Posso riscrivere la g(t) in questa forma
$$ g(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} G(jw) \cdot e^{jwt} \:\: dw $$
$$ g(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} R(w) \cdot \cos wt - I(w) \cdot \sin wt + j \cdot [ R(w) \cdot j \cdot \sin wt + I(w) \cdot \cos wt ] \:\: dw $$
A questo punto analizzo quali funzioni periodiche sono funzioni pari o funzioni dispari.
La differenza tra funzioni pari e dispari. Una funzione è pari se $$ f(x)=f(-x) $$ Una funzione è dispari se $$ f(x) = -f(-x) $$
Considerando che il coseno è una funzione pari perché cos(x) = cos(-x) mentre il seno è una funzione dispari perché sin(x)=-sin(-x)
Da questo deduco che R(w) è una funzione pari
Nota. La funzione R(w) ha il coseno come argomento $$ R(w) = \int_0^∞ g(t) \cos wt dt $$
mentre I(w) è una funzione dispari.
Nota. La funzione I(w) ha il seno come argomento $$ I(w) = - \int_0^∞ g(t) \sin wt dt $$
Considerando che
- II prodotto tra due funzioni pari ( o due funzioni dispari ) è una funzione pari.
- Il prodotto tra due funzioni pari e dispari è, invece, una funzione dispari.
Deduco che
- Sono funzioni pari $$ R(w) \cdot \cos wt $$ $$ I(w) \cdot \sin wt $$
- Sono funzioni dispari $$ R(w) \cdot j \cdot \sin wt $$ $$ I(w) \cdot \cos wt $$
Sapendo che l'integrale di una funzione dispari da -∞ a +∞ è uguale a zero, posso eliminare le funzioni dispari
$$ g(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} R(w) \cdot \cos wt - I(w) \cdot \sin wt + j \cdot [ R(w) \cdot j \cdot \sin wt + I(w) \cdot \cos wt ] \:\: dw $$
$$ g(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} R(w) \cdot \cos wt - I(w) \cdot \sin wt \:\: dw $$
Ora ci sono solo funzioni pari nell'integrale.
$$ g(t) = \frac{1}{2π} \int_{-∞}^{∞} R(w) \cdot \cos wt - I(w) \cdot \sin wt \:\: dw $$
$$ g(t) = \frac{1}{2π} ( \int_{-∞}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw - \int_{-∞}^{∞} I(w) \cdot \sin wt \:\: dw ) $$
L'integrale di una funzione dispari da -∞ a +∞ è uguale al doppio dell'integrale da 0 a +∞
Quindi, posso riscrivere
$$ g(t) = \frac{1}{2π} ( 2 \cdot \int_{0}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw - 2 \cdot \int_{0}^{∞} I(w) \cdot \sin wt \:\: dw ) $$
$$ g(t) = \frac{1}{π} ( \int_{0}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw - \int_{0}^{∞} I(w) \cdot \sin wt \:\: dw ) $$
La funzione g(t) può essere ulteriormente semplificata.
La funzione g(t) è sempre nulla per t<0.
Quindi, per ogni t>0 si ha
$$ \int_0^∞ R(w) \cos w(-t) \:dw = \int_0^∞ I(w) \sin w(-t) \:dw $$
$$ \int_0^∞ R(w) \cos wt \:dw = - \int_0^∞ I(w) \sin wt \:dw $$
Pertanto, nella precedente posso sostituire la I con R.
$$ g(t) = \frac{1}{π} ( \int_{0}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw - \int_{0}^{∞} I(w) \cdot \sin wt \:\: dw ) $$
$$ g(t) = \frac{1}{π} ( \int_{0}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw + \int_0^∞ R(w) \cos wt \:dw ) $$
$$ g(t) = \frac{2}{π} ( \int_{0}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw ) $$
In conclusione, posso calcolare la risposta impulsiva g(t) integrando soltanto la parte reale della funzione.
Nota. In alternativa, potrei anche sostituire la R con la I ottenendo un'altra versione semplificata della funzione. $$ g(t) = \frac{1}{π} ( \int_{0}^{∞} R(w) \cdot \cos wt \:\: dw - \int_{0}^{∞} I(w) \cdot \sin wt \:\: dw ) $$ $$ g(t) = \frac{1}{π} ( - \int_0^∞ I(w) \sin wt \:dw - \int_{0}^{∞} I(w) \cdot \sin wt \:\: dw ) $$ $$ g(t) = - \frac{2}{π} ( \int_0^∞ I(w) \sin wt \:dw ) $$ In questo modo, posso calcolare la risposta impulsiva g(t) integrando soltanto la parte immaginaria della funzione.
Ho così ottenuto la risposta impulsiva g(t) a partire dalla funzione a risposta armonica.
E così via
