Esercizio sulle basi degli spazi vettoriali 4
Devo verificare se la base dello spazio vettoriale V=Rn ha sempre una dimensione uguale a n
$$ V = R^n $$
Uno spazio ha dimensione n se la base {v1,v2,...,vn} è composta da n elementi (vettori linearmente indipendenti).
$$ B = \{ \vec{v_1} , \vec{v_2} , ... , \vec{v_n} \} $$
Per semplicità scelgo l'insieme di vettori
$$ B = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} , ... , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
Passo 1
Verifico se i vettori {v1,v2,...,vn} sono un insieme di generatori.
Un insieme di vettori sono generatori dello spazio vettoriale se la loro combinazione lineare permette di generare qualsiasi altro vettore v(a1,a2,...,an) dello spazio vettoriale Rn
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + ... + k_n \vec{v}_n = \vec{v} $$
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + ... + k_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} $$
Trasformo l'equazione vettoriale in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} k_1 = a_1 \\ k_2 = a_2 \\ \vdots \\ k_n = a_n \end{cases} $$
Il sistema ha sempre una soluzione.
Per generare un qualsiasi vettore v=(a1,a2,...,an) nello spazio Rn mi basta usare come coefficienti scalari le componenti del vettori k1=a1, k2=a2, ..., kn=an.
Quindi, i vettori {v1,v2,...,vn} sono un sistema di generatori di Rn.
Passo 2
Verifico se i vettori {v1,v2,...,vn} sono vettori linearmente indipendenti.
Un insieme di vettori sono linearmente indipendenti se è possibile ottenere il vettore nullo solo tramite una combinazione lineare di coefficienti nulli k1,k2,...,kn=0 (soluzione banale)
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + ... + k_n \vec{v}_n = \vec{0} $$
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}_1 + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + ... + k_n \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} $$
Trasformo l'equazione vettoriale in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} k_1 = 0 \\ k_2 = 0 \\ \vdots \\ k_n = 0 \end{cases} $$
Si tratta di un sistema omogeneo.
L'unica soluzione del sistema è la soluzione banale k1,k2,...kn=0
Pertanto, i vettori {v1,v2,...,vn} sono linearmente indipendenti.
Passo 3
Ho dimostrato che i vettori {v1,v2,...,vn} sono generatori di Rn e sono anche linearmente indipendenti.
Quindi i vettori {v1,v2,...,vn} sono una base dello spazio vettoriale Rn
Nota. I vettori {v1,v2,...,vn} con v1={1,0,...,0}, v1={0,1,...,0}, ... , vn={0,0,...,1} sono detti base canonica,
Secondo il teorema della dimensione della base, tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa dimensione ossia lo stesso numero di elementi.
La base canonica {v1,v2,...,vn} di Rn è composta da n vettori.
Pertanto, tutte le basi dello spazio vettoriale V=Rn hanno n vettori.
E così via.
