Come risolvere le equazioni esponenziali con i logaritmi

In alcuni casi le equazioni esponenziali $$ b^x = c $$ posso risolverle usando i logaritmi con una base qualsiasi in entrambi i membri dell'equazione $$ \log_b b^x = \log_b c $$ questo mi permette di ricavare la variabile x $$ x = \log_b c $$

Posso applicare questo metodo con esponenziali di qualsiasi tipo tramite le proprietà dei logaritmi, purché

• i membri delle equazioni siano positivi perché non esiste il logaritmo di un numero negativo.
• non ci siano somme o differenze negli argomenti dei logaritmi perché il logaritmo non è semplificabile.

Esempio. Una situazione del tipo \log { 1+4x } $$ non si può semplificare con le proprietà dei logaritmi. Viceversa la presenza di un prodotto nell'argomento del logaritmo è semplificabile.

Un esempio pratico

Considero l'equazione esponenziale

$$ 5^x = 9 $$

E' un'equazione risolvibile con i logaritmi perché entrambi i membri dell'equazione sono positivi.

Applico un logaritmo con una base qualsiasi a entrambi i membri dell'equazione.

In questo caso opto per il logaritmo su base 5 ma qualsiasi altro sarebbe andato bene.

$$ \log_5 5^x = \log_5 9 $$

Applico le proprietà dei logaritmi per far uscire la variabile incognita x

$$ x \cdot \log_5 5 = \log_5 9 $$

Ricavo la variabile incognita dividendo entrambi i membri per log_5 5

$$ x \cdot \log_5 5 = \log_5 9 $$

$$ \frac{x \cdot \log_5 5}{\log_5 5} = \frac{\log_5 9}{\log_5 5} $$

$$ x = \frac{\log_5 9}{\log_5 5} $$

Avendo usato un logaritmo con base 5 posso ulteriormente semplificare l'equazione sapendo che log_5(5)= 1

$$ x = \frac{\log_5 9}{1} $$

Quindi la soluzione dell'equazione esponenziale è

$$ x = \log_5 9 $$

E così via.