Esercizio studio del limite 4
Devo studiare il limite di questa funzione fratta
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25} $$
Per prima cosa, individuo il dominio della funzione
$$ D_f (-\infty, -5) \cup (-5, 5) \cup (5, +\infty)$$
Nei punti 5 e -5 la funzione non è definita perché si annulla il denominatore.
Il numero x0=-5 è un punto di accumulazione della funzione.
Quindi, posso procedere col calcolo del limite.
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25} = \frac{0}{0} $$
Il limite della funzione è la forma indeterminata del tipo 0/0.
Riscrivo la funzione in una forma equivalente per evitare la forma indeterminata.
Scompongo il numeratore con il metodo di Ruffini.
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x -10}{x^2-25} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{(x-2) \cdot (x+5)}{x^2-25} $$
Il denominatore è una differenza di quadrati (a2-b2)=(a-b)(a+b)
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{(x-2) \cdot (x+5)}{x^2-5^2} $$
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{(x-2) \cdot (x+5)}{(x-5) \cdot (x+5)} $$
Semplifico togliendo (x+5) al numeratore e al denominatore
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x-2}{x-5} $$
Infine, calcolo il limite per x che tende a -5
$$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x-2}{x-5} = \frac{-7}{-10} = \frac{7}{10} $$
Ho evitato la forma indeterminata 0/0
Il limite della funzione è 7/10.
Nota. Essendo una forma indeterminata 0/0 avrei potuto risolvere il limite anche con il teorema di L'Hopital. $$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{x^2 + 3x - 10}{x^2-25} = \frac{0}{0} $$ $$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{D[x^2 + 3x - 10]}{D[x^2-25]} $$ $$ \lim_{x \rightarrow -5} \frac{2x+3}{2x} = \frac{-7}{-10} = \frac{7}{10} $$ Il risultato è lo stesso.
E così via.