Esercizio limite di funzione di due variabili 2
Devo studiare il limite di questa funzione f(x,y)
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} $$
Il limite è una forma indeterminata 0/0
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = \frac{0}{0} $$
Per studiarlo considero la disequazione tra la funzione f(x,y) e il valore assoluto della funzione
Nota. Data una qualsiasi funzione f(x,y) $$ -| f(x,y) | \le f(x,y) \le | f(x,y) | $$ Se il limite del valore assoluto |f(x,y)| è nullo, allora per il teorema dei carabineri anche il limite della funzione è nullo. $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} -| f(x,y) | \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | f(x,y) | $$ $$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) \le 0 $$
Devo verificare se il limite del valore assoluto è uguale a zero.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | $$
Il valore assoluto della funzione è sempre maggiore o uguale a zero.
$$ 0 \le | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | $$
Riscrivo l'espressione in questa forma equivalente
$$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} $$
Il secondo fattore x2/(x2+y2) è un numero compreso nell'intervallo (0,1) perché il denominatore è sempre maggiore del numeratore e tutti i termini sono positivi.
Quindi, il primo fattore |y| è moltiplicato per per un numero compreso nell'intervallo (0,1).
Di conseguenza la funzione è sempre minore o uguale a |y|
$$ 0 \le |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le |y| $$
Calcolo il limite di tutti i membri della disequazione
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| $$
Il primo e l'ultimo limite tendono a zero.
$$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le 0 $$
Pertanto, per il teorema dei carabinieri anche il limite del valore assoluto tende a zero.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} = 0 $$
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | = 0 $$
Di conseguenza anche il limite della funzione iniziale tende a zero.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0 $$
Spiegazione. Per il teorema dei carabinieri $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} - | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | = 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | = 0 $$
Soluzione alternativa
Per calcolare il limite posso anche usare le coordinate polari.
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \]
Perché usare le coordinate polari? Le coordinate polari sono utili quando si lavora con limiti in due variabili che tendono a \((0,0)\), perché mi permettono di semplificare l’espressione e controllare meglio la dipendenza dalla distanza dall’origine.
Le coordinate polari delle variabili x e y sono
\[ x = \rho \cos \theta \]
\[ y = \rho \sin \theta \]
Dove \(\rho\) è la distanza dall’origine (\( \rho = \sqrt{x^2 + y^2} \)) e \(\theta\) è l’angolo rispetto all’asse \(x\)
Sostituisco \(x\) e \(y\) nella funzione:
\[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{(\rho \cos\theta)^2 (\rho \sin\theta)}{(\rho \cos\theta)^2 + (\rho \sin\theta)^2} \]
Svolgo i calcoli:
\[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{\rho^2 \cos^2\theta \cdot \rho \sin\theta}{\rho^2 \cos^2\theta + \rho^2 \sin^2\theta} \]
\[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{\rho^3 \cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)} \]
Per la prima relazione fondamentale della trigonometria $ \cos^2\theta + \sin^2\theta) = 1 $
\[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{\rho^3 \cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2 \cdot 1} \]
\[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \frac{\rho^3 \cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2} \]
Quindi la funzione diventa:
\[ \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = \rho \cos^2\theta \sin\theta \]
A questo punto devo calcolare il limite
\[ \lim_{\rho \to 0} \rho \cos^2\theta \sin\theta \]
In questo caso \(\theta\) è fissato, cioè indipendente da \(\rho\), e \(\cos^2\theta \sin\theta\) è un numero costante perché dipende solo da \(\theta\).
Quindi sto moltiplicando una costante per \(\rho\), che tende a zero \(\rho \to 0\).
Pertanto, il limite tende a zero.
\[ \cos^2\theta \sin\theta \cdot \lim_{\rho \to 0} \rho \to 0 \]
Per essere rigorosi, posso usare il teorema del confronto sapendo che \(\cos^2\theta \sin\theta\) è un numero tra \(-1\) e \(1\).
\[ -\rho \le \rho \cos^2\theta \sin\theta \le \rho \]
Calcolo il limite per \( \rho \to 0 \)
\[ \lim_{\rho \to 0} -\rho \le \lim_{\rho \to 0} \rho \cos^2\theta \sin\theta \le \lim_{\rho \to 0} \rho \]
\[ - \lim_{\rho \to 0} \rho \le \lim_{\rho \to 0} \rho \cos^2\theta \sin\theta \le \lim_{\rho \to 0} \rho \]
Poiché $ \lim_{\rho \to 0} \rho = 0 $ deduco che anche $ \lim_{\rho \to 0} \rho \cos^2\theta \sin\theta = 0 $
\[ 0 \le \lim_{\rho \to 0} \rho \cos^2\theta \sin\theta \le 0 \]
Il secondo metodo conferma il risultato del primo, ma in modo più elegante e diretto usando la variabile \(\rho\), che rappresenta la distanza da \((0,0)\).
Pertanto, il limite della funzione di due variabili tende a zero.
\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0 \]
E così via.
