Esercizio limite di funzione di due variabili 2
Devo studiare il limite di questa funzione f(x,y)
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} $$
Il limite è una forma indeterminata 0/0
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = \frac{0}{0} $$
Per studiarlo considero la disequazione tra la funzione f(x,y) e il valore assoluto della funzione
Nota. Data una qualsiasi funzione f(x,y) $$ -| f(x,y) | \le f(x,y) \le | f(x,y) | $$ Se il limite del valore assoluto |f(x,y)| è nullo, allora per il teorema dei carabineri anche il limite della funzione è nullo. $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} -| f(x,y) | \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | f(x,y) | $$ $$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} f(x,y) \le 0 $$
Devo verificare se il limite del valore assoluto è uguale a zero.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | $$
Il valore assoluto della funzione è sempre maggiore o uguale a zero.
$$ 0 \le | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | $$
Riscrivo l'espressione in questa forma equivalente
$$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} $$
Il secondo fattore x2/(x2+y2) è un numero compreso nell'intervallo (0,1) perché il denominatore è sempre maggiore del numeratore e tutti i termini sono positivi.
Quindi, il primo fattore |y| è moltiplicato per per un numero compreso nell'intervallo (0,1).
Di conseguenza la funzione è sempre minore o uguale a |y|
$$ 0 \le |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le |y| $$
Calcolo il limite di tutti i membri della disequazione
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| $$
Il primo e l'ultimo limite tendono a zero.
$$ 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} \le 0 $$
Pertanto, per il teorema dei carabinieri anche il limite del valore assoluto tende a zero.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} |y| \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} = 0 $$
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | = 0 $$
Di conseguenza anche il limite della funzione iniziale tende a zero.
$$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = 0 $$
Spiegazione. Per il teorema dei carabinieri $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} - | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | = 0 \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} \le \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} | \frac{x^2y}{x^2+y^2} | = 0 $$
E così via.
