La tecnica delle coordinate polari per lo studio dei limiti di funzioni in due variabili

Per determinare il limite di una funzione di due variabili che tende all'origine (0,0) \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) \] posso usare un cambio di coordinate da cartesiane $(x, y)$ a polari $(\rho, \theta)$. \[ x = \rho \cos\theta \] \[ y = \rho \sin\theta \]

L’idea è molto semplice, se la funzione diventa:

\[ f(x, y) = g(\rho, \theta) \]

si può scrivere come una funzione in cui $ \rho \to 0 $ fa tendere tutto a un valore indipendentemente da $\theta$, allora il limite esiste ed è quel valore.

\[ \lim_{\rho\to0^{+}} g(\rho,\theta)=L\qquad\text{per ogni }\theta \]

In questi casi la distanza dall’origine è $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$, e l’angolo $\theta$ identifica la direzione.

Attenzione. La tecnica va usata solo in alcuni casi ,quando il limite tende all'origine $ \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) $, e non sempre è sufficiente per stabilire l'esistenza del limite. E' necessario che $ L $ sia indipendente da $ \theta $.

E' possibile usare questa tecnica per limiti che tendono in punti diversi dall'origine?

Se il limite non tende verso l'origine (0,0), posso comunque applicare questa tecnica traslando il sistema di riferimento per portare il punto $ (x_0,y_0) $ all'origine.

Ad esempio, se il limite è verso il punto $ (x_0,y_0) $, le coordinate polari da usare sono \[ x = x_0 + \rho \cos\theta \] \[ y = y_0 + \rho \sin\theta \]

In questo caso si parla di tecnica delle coordinate polari traslate.

Esempio pratico

Considero la funzione:

\[ f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} \]

Sostituisco le coordinate cartesiane con quelle polari $ x = \rho \cos\theta $ e $ y = \rho \sin\theta $.

\[ f(x, y) = \frac{(\rho \cos\theta)^2 (\rho \sin\theta)}{(\rho \cos\theta)^2 + (\rho \sin\theta)^2} \]

\[ f(x, y) = \frac{\rho^3 \cos^2\theta \sin\theta}{\rho^2 (\cos^2\theta + \sin^2\theta)} \]

\[ f(x, y)= \rho \cos^2\theta \sin\theta \]

Poiché $\cos^2\theta \sin\theta$ è un valore compreso tra [-1,1] per ogni direzione $\theta$ e $\rho \to 0$ implica $f(x,y) \to 0$, posso concludere che il limite è zero.

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x^2 + y^2} = 0 \]

In questo caso la tecnica funziona perfettamente perché il limite L non dipende da $ \theta $.

Esempio 2

Considera la funzione

\[ f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \]

Sostituisco le coordinate cartesiane con quelle polari $ x = \rho \cos\theta $ e $ y = \rho \sin\theta $.

\[ f(x, y) = \frac{(\rho \cos\theta)(\rho \sin\theta)^2}{(\rho \cos\theta)^2 + (\rho \sin\theta)^4}
\]

\[ f(x, y) = \frac{\rho^3 \cos\theta \sin^2\theta}{\rho^2 \cos^2\theta + \rho^4 \sin^4\theta} \]

\[ f(x,y) = \rho \cdot \frac{\cos\theta \sin^2\theta}{\cos^2\theta + \rho^2 \sin^4\theta} \]

Se $\rho \to 0$, il numeratore va a $0$ e il denominatore tende a $\cos^2\theta$, quindi potrei pensare che il limite di f(x,y) tenda a zero:

\[ f(x,y) \to 0 \]

Ma attenzione, in questo caso il denominatore contiene un termine $ \rho^2 $ che per determinati valori di $ \theta $ come $ \cos \theta \rightarrow 0 $ possono far crescere il rapporto come $ \frac{1}{ \rho} $ e produrre un limite non nullo.

In questo caso il limite $ L $ non è indipendente da $ \theta $.

In questo caso il limite è uguale a zero solo lungo le direzioni rettilinee, cioè quando $\theta$ è fissato. Seguendo traiettorie non rettilinee il risultato cambia.

Ad esempio, lungo la curva $x = y^2$ ottengo un limite diverso.

\[ f(y^2, y) = \frac{y^2 \cdot y^2}{(y^2)^2 + y^4} = \frac{y^4}{2y^4} = \frac{1}{2} \]

Quindi il limite non esiste.

\[ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy^2}{x^2 + y^4} = \text{non esiste} \]

Pertanto, le coordinate polari da sole non mi permettono di concludere l’esistenza del limite in generale, se non considero anche l’esplorazione lungo le traiettorie curve.

Nota. Il problema non è lo strumento coordinate polari, ma l’abitudine scolastica di fissare $\theta$. Con le coordinate polari posso descrivere anche traiettorie curve lasciando $\theta=\theta(\rho)$. Il vero criterio è che la funzione $g(\rho,\theta)$ debba tendere allo stesso valore per qualunque scelta di $\theta=\theta(\rho)$ con $\rho\to0^{+}$.

In conclusione, il limite esiste se e solo se $g(\rho,\theta)$ converge a $L$ uniformemente in $\theta$.

Esempio 3

Considero la funzione di due variabili

\[ f(x, y) = xy^2 \]

Vogliamo calcolare il limite per (x,y) che tende al punto (1,2)

\[ \lim_{(x, y) \to (1, 2)} xy^2 \]

In questo caso il limite non tende verso l'origine (0,0), quindi devo traslare il sistema di riferimento usando la tecnica delle coordinate polari traslate.

Per prima cosa traslo il centro in $ (1, 2) $ usando le coordinate polari:

\[ x = 1 + \rho \cos\theta, \quad y = 2 + \rho \sin\theta \]

Poi riscrivo la funzione sostituendo le variabili $ x $ e $ y $ con le coordinate polari traslate.

\[ f(x, y) = xy^2 = (1 + \rho \cos\theta)(2 + \rho \sin\theta)^2 \]

Quindi, calcolo il limite per $ \rho \to 0 $

\[ \lim_{\rho \to 0} (1 + \rho \cos\theta)(2 + \rho \sin\theta)^2 \]

Espando $ (2 + \rho \sin\theta)^2 $:

\[ \lim_{\rho \to 0} (1 + \rho \cos\theta) \cdot ( 4 + 4\rho \sin\theta + \rho^2 \sin^2\theta ) \]

\[ \lim_{\rho \to 0} 4(1+\rho\cos\theta) + 4\rho\sin\theta(1+\rho\cos\theta) + \rho^2\sin^2\theta(1+\rho\cos\theta) \]

\[ \lim_{\rho \to 0} 4 + 4\rho\cos\theta + 4\rho\sin\theta + 4\rho^2\sin\theta\cos\theta + \rho^2\sin^2\theta + \rho^3\sin^2\theta\cos\theta \]

Quando $\rho \to 0$, i termini più alti tipo $ \rho^2 $ o $ \rho^3 $ tendono a zero più in fretta. Quindi al primo ordine, la funzione $ f(x,y) $ si comporta come $ f(x, y) \approx 4 + 4\rho(\cos\theta + \sin\theta) $

\[ \lim_{\rho \to 0} 4 + 4\rho(\cos\theta + \sin\theta) \]

Quando $\rho \to 0$:

\[ \lim_{\rho \to 0} f(x, y) = 4 \]

Il limite è finito e non dipende da $\theta$, ossia dalla direzione di avvicinamento, perché i termini con $\theta$ sono moltiplicati da $\rho$ e $\rho$ va a zero.

Quindi, il limite esiste ed è indipendente dalla traiettoria.

Nota. Questo dimostra che la tecnica delle coordinate polari può essere usata anche quando il limite non tende verso l'origine. Basta fare un semplice cambio di sistema di riferimento.

E così via.