La tangente iperbolica
La tangente iperbolica (tanh) è una funzione matematica iperbolica definita dalla seguente formula $$ \tanh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} $$ Dove "e" è il simbolo di Nepero (e=2,71...) ossia la base dei logaritmi naturali.
Ecco le principali caratteristiche della tangente iperbolica.
- Dominio e codominio. Il dominio della funzione tangente iperbolica è l'intero insieme dei numeri reali $$ D_f = (-∞, +∞) $$ Il codominio della funzione è l'intervallo (-1, 1), ovvero tutti i numeri reali compresi tra -1 e 1 $$ C_f = (-1,1) $$
- E' una funzione continua, monotòna e crescente
- Simmetria. E' una funzione simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani. E' una funzione dispari $$ \tanh(-x) = - \tanh(x) $$
- Intercette. La funzione passa per l'origine degli assi. Per x=0 la tangente iperbolica vale y=0 ossia tanh(0)=0
- Limiti. La funzione tende a -1 quando x tende a meno infinito. Tende a 1 quando x tende a più infinito. $$ \lim_{x \rightarrow \infty} \tanh(x) = 1 $$ $$ \lim_{x \rightarrow - \infty} \tanh(x) = -1 $$
- Punti notevoli. La tangente iperbolica ha un asintoto orizzontale a y = -1 per x che tende a meno infinito e un asintoto orizzontale a y = 1 per x tende a più infinito.
- Punti di flesso. La funzione ha un punto di flesso in x = 0.
- Derivata. La derivata della tangente iperbolica è $$ D [ \tanh(x) ] = \text{sech}^2(x) $$ Dove sech(x) è la funzione secante iperbolica.
- E' una funzione invertibile. La funzione inversa è l'arcotangente iperbolica.
- Relazione con altre funzioni iperboliche. La tangente iperbolica è in relazione con il seno iperbolico e il coseno iperbolico tramite l'identità fondamentale della trigonometria iperbolica $$ \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1 $$ che posso riscrivere come $$ 1 - tanh^2(x) = sech^2(x) $$
Il grafico della funzione
