L'arcotangente iperbolica
L'arcotangente iperbolica (atanh) è la funzione inversa della tangente iperbolica. In altre parole se $$ y = \text{tanh}(x) $$ allora $$ x = \text{atanh}(y) = \text{tanh}^{-1}(y) $$
Ecco le principali caratteristiche della tangente iperbolica.
- Dominio. Il dominio della funzione arcotangente iperbolica è l'intervallo dei numeri reali compresi tra -1 e 1 $$ D_f = (-1,1) $$
- Codominio. Il codominio della funzione è l'intervallo (-∞, +∞), ovvero l'insieme dei numeri reali (R). $$ C_f = (-∞, +∞) = R $$
- E' una funzione continua, monotòna e strettamente crescente
- Simmetria. E' una funzione simmetrica rispetto all'origine degli assi cartesiani. E' una funzione dispari $$ \text{atanh}(-x) = - \text{atanh}(x) $$
- Intercette. La funzione passa per l'origine degli assi. Per x=0 l'arcotangente iperbolica è uguale a y=0 ossia atanh(0)=0
- Limiti. La funzione tende a +∞ quando x tende a 1 da sinistra . Tende a -∞ quando x tende a -1 da destra. $$ \lim_{x \rightarrow 1^-} \text{atanh}(x) = \infty $$ $$ \lim_{x \rightarrow - 1^+ } \text{atanh}(x) = - \infty $$
- Punti notevoli. La tangente iperbolica ha un asintoto verticale per x che tende a -1 da destra e un asintoto verticale per x tende 1 da sinistra.
- Punti di flesso. La funzione ha un punto di flesso in x = 0.
- Derivata. La derivata dell'arcotangente iperbolica è $$ D [ \text{atanh}(x) ] = \frac{1}{1-x^2} $$
- Funzione inversa. E' una funzione invertibile. La funzione inversa è la tangente iperbolica.
- Identità. L'arcotangente iperbolica soddisfa questa identità $$ \text{atanh}(x) = \frac{1}{2} \ln ( \frac{1+x}{1-x} ) $$
- Simboli. L'arcotangente iperbolica è indicata con i simboli atanh, arctanh, tanh-1, settanh (settore tangente iperbolica).
Il grafico della funzione
