Formula del binomio di Newton
La formula del binomio di Newton permette di sviluppare della potenza ennesima di un binomio tramite i coefficienti binominali $$ (A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{n-k} B^k $$
Quando voglio espandere una potenza del tipo \( (A + B)^n \) posso usare due strade.
- Moltiplicare il binomio per sé stesso n volte. $$ (A + B)^n = \underbrace{ (A+B) \cdot (A+B) \cdot ... \cdot (A+B) }_{n \ volte} $$
- Usare la formula del binomio di Newton. $$ (A + B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^{ n-k} B^{ k} $$ $$ (A + B)^n = \binom{n}{0} A^n B^0 + \binom{n}{1} A^{n-1} B^{,1} + \ldots + \binom{n}{n-1} A^{1} B^{n-1} + \binom{n}{n} A^0 B^n $$ Dove i coefficienti davanti ai vari termini sono i famosi coefficienti binomiali, gli stessi che si trovano nel triangolo di Tartaglia-Pascal.
È evidente che la seconda strada diventa la scelta più pratica quando l’esponente del binomio cresce.
Un esempio pratico
Considero un binomo elevato alla quarta
$$ (a + b)^4 $$
Lo riscrivo con la formula di Newton
$$(a + b)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} a^{4-k} b^{k} $$
$$(a + b)^4 = \binom{4}{0} a^4 + \binom{4}{1} a^3 b + \binom{4}{2} a^2 b^2 + \binom{4}{3} a b^3 + \binom{4}{4} b^4 $$
Calcolo i coefficienti:
- \( \binom{4}{0} = 1 \)
- \( \binom{4}{1} = 4 \)
- \( \binom{4}{2} = 6 \)
- \( \binom{4}{3} = 4 \)
- \( \binom{4}{4} = 1 \)
Alla fine ottengo l’espansione completa:
$$ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $$
I numeri 1, 4, 6, 4, 1 sono quelli nella quarta riga del triangolo di Pascal.
Note
Alcune note sulla formula di Newton
- La somma dei coefficienti binomiali è sempre una potenza di 2
Scegliendo \( A = 1 \) e \( B = 1 \), le potenze $ 1^{n-k} $ e $ ^{k} $ diventano uguali a 1. La formula del binomio si riduce quindi alla semplice somma dei coefficienti binomiali: $$ (1 + 1)^n = 2^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \cdot 1 \cdot 1 = \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \ldots + \binom{n}{n} $$ In altre parole, la somma di tutti i coefficienti binomiali della riga (n)-esima del triangolo di Pascal è: $$ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \ldots + \binom{n}{n} = 2^n $$ Questa identità mostra che i coefficienti binomiali rappresentano il numero totale dei sottoinsiemi di un insieme con \( n \) elementi. Inoltre, come si può facilmente notare, la somma degli elementi di ogni riga del triangolo di Pascal - Tartaglia è una potenza di 2, precisamente $ 2^n $ per la riga di indice $ n $.
E così via
