Fattoriale di un numero naturale

Per ogni numero naturale \( n \geq 1 \) il fattoriale si indica con il simbolo \( n! \) ed è definito come il prodotto di tutti gli interi positivi da \( 1 \) a \( n \): $$ n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 $$ Dove per convenzione $ 0! = 1 $

Ad esempio, il fattoriale di $ 3 $ è il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 3

$$ 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 $$

Il fattoriale di $ 4 $ è il prodotto di tutti i numeri naturali da 1 a 4

$$ 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $$

Il fattoriale di $ 5 $ è il prodotto dei numeri da 1 a 5

$$ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 $$

Come si può capire, anche a colpo d'occhio, il fattoriale ha la caratteristica di crescere molto rapidamente. Già \( 10! \) vale \( 3,628,800 \).

Nota. Per convenzione il fattoriale di zero è uguale a uno $$ 0! = 1 $$  Questa scelta arbitraria permette di mantenere coerenti molte formule di combinatoria, in particolare quelle che coinvolgono le permutazioni e i coefficienti binomiali.

A cosa serve?

Il fattoriale di un numero naturale è una delle funzioni fondamentali della matematica.

Compare in combinatoria, probabilità, algebra, analisi e in moltissimi problemi reali. Serve a contare, ordinare, permutare e costruire formule più complesse.

Ad esempio, il fattoriale è usato nel calcolo delle permutazioni.

Se ho \( n \) oggetti distinti e voglio sapere in quanti modi posso metterli in ordine, la risposta è:

$$ \text{numero di permutazioni di } n \text{ elementi} = n! $$

Esempio. Quante parole posso formare con le lettere A, B, C. In questo caso ci sono tre elementi $ n=3 $, quindi le permutazioni possibili sono $ n!=6 $. Ecco le parole che posso formare: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. In tutto 6 permutazioni, cioè \( 3! \).

Perché il fattoriale di zero è uguale a uno?

Per convenzione, il fattoriale di zero è uguale a uno

$$ 0!=1 $$

Questo risulta molto utile nelle formule combinatorie, perché evita di annullare i prodotti.

Tuttavia, questo valore non è arbitrario e può essere ricavato direttamente dalla formula delle disposizioni semplici.

Dimostrazione

Considero le disposizioni semplici di \( n \) elementi in gruppi di \( k \) elementi:

$$ D(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} $$

Se imposto \( k=n \) ottengo:

$$ D(n,n)=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!} $$

A questo punto la formula si ferma, perché il valore di \( 0! \) non è stato ancora definito.

Però so già che disporre \( n \) elementi in gruppi di \( n \) elementi significa semplicemente permutarli e il numero delle permutazioni di \( n \) elementi è $ P_n = n! $

$$ D(n,n)=P(n)=n! $$

Sostituendo questa informazione nella formula precedente ottengo

$$ D(n,n) = \frac{n!}{0!}=n! $$

Questa uguaglianza è possibile solo se $ 0!=1 $.

Di conseguenza, il fattoriale di zero deve essere uguale a uno.

Nota. Questa spiegazione è utile nella didattica, ma non costituisce una dimostrazione rigorosa, in quanto la formula delle disposizioni $ D(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} $ è costruita assumendo che $ n > 1 $.

Dimostrazione 2

Questa dimostrazione è più rigorosa matematicamente rispetto alla precedente, perché parte dalla ricorrenza fondamentale del fattoriale.

$$ n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1 $$

$$ n! = n \cdot \underbrace{ (n-1) \cdot (n-2) \cdot \cdot \cdot 2 \cdot 1 }_{(n-1)!} $$

$$ n! = n \cdot (n-1)! $$

Sostituisco $ n=1 $ e ottengo:

$$ 1! = 1 \cdot (1-1)! $$

$$ 1! = 1 \cdot 0! $$

Poiché $ 1!=1 $ segue che:

$$ 1 = 1 \cdot 0! $$

Questa uguaglianza è possibile soltanto se $ 0!=1 $.

Pertanto, il fattoriale di zero è uguale a uno.

Note

Alcune note a margine sul fattoriale

• Relazione ricorsiva
  Il fattoriale soddisfa una semplice relazione ricorsiva. $$ n! = n \cdot (n - 1)! $$ Questa ricorsione è la base di molti algoritmi e dimostrazioni.

  Esempio. Il fattoriale 5! posso scriverlo come $$ 5! = 5 \cdot 4! $$

  Da questa relazione ricorsiva posso dedurre dei corollari: $$ (n+1)! = (n+1) \cdot n! $$ $$ (n+1)! - n! = n \cdot n! $$

  Spiegazione. Quest'ultima relazione si dimostra in questo modo: $$ (n+1)! - n! $$ Sapendo che $ (n+1)! = (n+1) \cdot n! $. $$ (n+1) \cdot n! - n! $$ Metto in evidenza $ n! $ e raggruppo. $$ n! \cdot [ (n+1) - 1] $$ $$ n! \cdot ( n+1 - 1) $$ $$ n! \cdot n $$

• Fattoriale e divisioni
  Spesso nelle formule compaiono rapporti come $$ \frac{n!}{(n - k)!} $$ che rappresentano i prodotti di \( k \) termini consecutivi: $$  \frac{n!}{(n - k)!} = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot (n - k + 1) $$ Questa forma compare nelle disposizioni semplici.

  Esempio. Ecco un esempio pratico con $ n=5 $ e $ k=2 $. $$ \require{cancel}  \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{ 3 \cdot 2 \cdot 1 }}{ \cancel{ 3 \cdot 2 \cdot 1} } = 5 \cdot 4 $$ In questo caso è molto più rapido calcolare i prodotti da $ n=5 $ a $ n-k+1 = 5-2+1 = 4 $ poiché una parte dei prodotti si semplificano.

• Coefficiente binomiale
  Il fattoriale è il cuore dei coefficienti binomiali, usati nel triangolo di Pascal e nello sviluppo del binomio di Newton: $$
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} $$ Indica il numero di combinazioni di \( k \) elementi scelti fra \( n \).
• Crescita del fattoriale
  Il fattoriale cresce in modo superesponenziale. Per avere un'idea, già: $$ 20! = 2,432,902,008,176,640,000 $$ Questo spiega perché, in molti algoritmi, l’apparizione di un termine fattoriale porta a tempi di calcolo rapidamente ingestibili.
• Intervallo del fattoriale
  Il valore del fattoriale è sempre compreso tra i seguenti: $$ ( \sqrt{n} )^n < n! < \left( \frac{n+1}{2} \right)^n $$
• Funzione gamma
  Il fattoriale è una funzione definita originariamente sui numeri naturali. Tuttavia, tramite la funzione Gamma, si estende anche ai numeri reali e complessi. Per i numeri naturali vale: $$ n! = \Gamma(n + 1) $$ Questo collegamento è fondamentale in analisi e teoria delle funzioni speciali.

E così via.