Esercizio sulle basi degli spazi vettoriali 5
Nello spazio vettoriale V=R3 di dimensione dim(V)=3 considero un sottospazio W=<v1,v2,v3> composto dai vettori v1=(2,0,1), v2=(1,1,2), v3=(3,-1,0) di V. Devo calcolare qual è la dimensione e la base del sottospazio W
Considero i vettori v1, v2, v3 dello spazio vettoriale V
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
I vettori v1, v2, v3 sono un insieme di generatori del sottospazio vettoriale W
$$ W = < \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \vec{v}_3 > $$
Per essere una base del sottospazio W i vettori v1, v2, v3 devono anche essere linearmente indipendenti.
Sono linearmente indipendenti la loro combinazione lineare genera il vettore nullo solo con la combinazione lineare banale (tutti gli scalari k nulli).
$$ k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 + k_3 \cdot \vec{v}_3 = \vec{0} $$
$$ k_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + k_3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 2k_1 \\ 0 \\ k_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_2 \\ k_2 \\ 2k_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3k_3 \\ -k_3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 2k_1 + k_2 + 3k_3\\ k_2 -k_3 \\ k_1 + 2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Scrivo il sistema vettoriale sotto forma di sistema di equazioni
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 0 \\ k_2 -k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_2 = 0 \end{cases} $$
Poi lo risolvo per sostituzione
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + 3k_3 = 0 \\ k_2 = k_3 \\ k_1 + = -2k_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 2( -2k_2 ) + k_2 + 3(k_2) = 0 \\ k_2 = k_3 \\ k_1 + = -2k_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} -4k_2 + k_2 + 3k_2 = 0 \\ k_2 = k_3 \\ k_1 + = -2k_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ k_2 = k_3 \\ k_1 + = -2k_2 \end{cases} $$
Il sistema ha infinite soluzioni una per ogni valore di k2.
E' quindi possibile ottenere il vettore nullo anche con combinazioni lineari non banali.
Pertanto, i vettori v1, v2, v3 non sono linearmente indipendenti.
Di conseguenza non sono una base del sottospazio W
Devo eliminare uno dei vettori.
Per semplicità fisso il parametro k2=1 dal sistema
$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ k_2 = k_3 \\ k_1 + = -2k_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ 1 = k_3 \\ k_1 + = -2 \cdot 1 \end{cases} $$
Pertanto ottengo k1 = -2, k2=1, k=3=1
Usando questi scalari la combinazione lineare diventa
$$ k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 + k_3 \cdot \vec{v}_3 = \vec{0} $$
$$ -2 \cdot \vec{v}_1 + 1 \cdot \vec{v}_2 + 1 \cdot \vec{v}_3 = \vec{0} $$
$$ -2 \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0} $$
$$ -2 \vec{v}_1 + \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = 0 $$
Essendo dei vettori linearmente dipendenti posso ricavarne uno in funzione degli altri ed eliminarlo.
Scelgo di eliminare il vettore v3.
$$ \vec{v}_3 = 2 \vec{v}_1 - \vec{v}_2 $$
L'insieme restanti dei vettori è
$$ \{ v_1 , v_2 \} $$
I vettori v1 e v2 formano ancora un insieme di generatori del sottospazio W in quanto v3 era linearmente dipendente da v1 e v2
$$ W = < v_1 , v_2 > $$
Resta da verificare se sono anche linearmente indipendenti.
$$ k_1 \cdot \vec{v}_1 + k_2 \cdot \vec{v}_2 = \vec{0} $$
$$ k_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + k_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \vec{0} $$
$$ \begin{pmatrix} 2 k_1 \\ 0 \\ k_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_2 \\ k_2 \\ 2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 2 k_1 + k_2 \\ k_2 \\ k_1 +2k_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Trasformo il sistema vettoriale in un sistema di equazioni equivalente
$$ \begin{cases} 2 k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 = 0 \\ k_1 +2k_2 = 0 \end{cases} $$
Poi risolvo il sistema per sostituzione
$$ \begin{cases} 2 k_1 + 0 = 0 \\ k_2 = 0 \\ k_1 +2 \cdot 0 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_2 = 0 \\ k_1 = 0 \end{cases} $$
Il sistema ha un'unica soluzione ed è la soluzione banale (k1=0 e k2=0)
La combinazione lineare dei vettori genera un vettore nullo solo con la combinazione lineare banale.
Pertanto, i vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti.
In conclusione i vettori v1 e v2 sono generatori del sottospazio W e linearmente indipendenti.
Quindi, i vettori v1 e v2 sono anche una base del sottospazio W.
$$ B_W = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 \} $$
La base del sottospazio W è composta da due vettori.
Pertanto, la dimensione del sottospazio W è uguale a due.
$$ \dim(W) = 2 $$
E così via.
