Lo studio della concavità di un fascio di parabole
Per studiare la concavità di un fascio di parabole al variare del parametro \(\lambda\), devo esaminare come varia il coefficiente del termine \(x^2\) nell'equazione generale del fascio.
$$ Ax^2 + Bx + Cy + D = 0 $$
Dove i coefficienti sono
$$ A = a_1 + \lambda a_2 $$
$$ B = b_1 + \lambda b_2 $$
$$ C = 1 + \lambda $$
$$ D = c_1 + \lambda c_2 $$
La concavità della parabola è determinata dal segno del coefficiente del termine \(x^2\), cioè \( A \), e dal segno della variabile $ y $.
Considerando una parabola parallela all'asse y se C>0 allora
- Se \(A < 0\), la parabola è aperta verso l'alto.
- Se \(A > 0\), la parabola è aperta verso il basso.
Viceversa se C<0 allora
- Se \(A < 0\), la parabola è aperta verso il basso.
- Se \(A > 0\), la parabola è aperta verso l'alto.
Per qualsiasi segno di C se \(A = 0\), l'equazione non rappresenta una parabola ma una retta.
Nota. L'equazione $ Ax^2 + Bx + Cy + D = 0 $ in forma implica l'equazione diventa $ Cy = -Ax^2 - Bx + - D $. Pertanto, considerando per semplicità solo il caso in cui C>0, se A<0 il coefficiente -Ax2 diventa positivo e la curva è aperta verso l'alto (concava verso il basso). Viceversa, quando A>0 è aperta verso il basso (concava verso l'alto).
Una volta trovati i valori critici di \(\lambda\) in cui $ A = 0 $ dove la parabola passa da aperta verso l'alto ad aperta verso il basso (o viceversa), uso il valore critico trovato per studiare il segno e determinare gli intervalli di \(\lambda\):
Un esempio pratico
Devo studiare come cambia la convessità al variare di \(\lambda\) nel fascio di parabole dato da
$$ (y - x^2 + 3x - 2) + \lambda (y + x^2 - 5x + 4) = 0 $$
Inizio riscrivendo l'equazione in una forma più semplice. Espando e semplifico l'equazione:
$$ y - x^2 + 3x - 2 + \lambda y + \lambda x^2 - 5\lambda x + 4\lambda = 0 $$
$$ (1 + \lambda)y + (\lambda-1)x^2 + (3 - 5\lambda)x + (-2 + 4\lambda) = 0. $$
Questa è l'equazione generale del fascio di parabole.
Per semplicità posso riscriverla in questa forma:
$$ Ax^2 + Bx + Cy + D = 0 $$
Dove:
$$ A = \lambda -1 $$
$$ B = 3 - 5\lambda $$
$$ C = 1 + \lambda $$
$$ D = -2 + 4\lambda $$
La convessità di una parabola dipende dal segno del coefficiente del termine \(x^2\), cioè \( A \):
$$ A = \lambda -1 $$
Devo però considerare anche il segno di $ C $ perché influisce sul segno della variabile $ y $
$$ C = 1 + \lambda > 0 $$
$$ \lambda > -1 $$
Quindi, il coefficiente C è positivo nell'intervallo (-1, ∞) e negativo nell'intervallo (-∞, -1) del parametro $ \lambda $.
Ora studio il segno del termine $ A $
$$ A= \lambda -1 > 0 $$
$$ \lambda > 1 $$
Quindi, il coefficiente A è positivo nell'intervallo (1, ∞) e negativo nell'intervallo (-∞, 1) del parametro $ \lambda $
Nell'intervallo λ ∈ (-1, ∞) in cui il coefficiente C è positivo
- La parabola è aperta verso il basso nell'intervallo (1,∞) perché $ A>0 $
- La parabola è aperta verso l'alto nell'intervallo (-1,1) perché $ A<0 $
Nell'intervallo λ ∈ (-∞,-1) in cui il coefficiente C è negativo
- La parabola è aperta il basso nell'intervallo (-∞,1) perché $ A<0 $
Dunque, ricapitolando:
- Per \(\lambda > 1\), la parabola è aperta verso il basso (concava verso l'alto).
- Per \(-1 < \lambda < 1\), la parabola è aperta verso l'alto (concava verso il basso).
- Per \(\lambda < -1\), la parabola è aperta verso il basso (concava verso il basso) perché il termine \(y\) diventa negativo e sulla forma complessiva della parabola.
In questo esempio nei punti critici λ=1 e λ=-1 in cui la parabola passa da concava a convessa (o viceversa), la parabola degenera in una retta.
In λ=1 la parabola degenere passa per entrambi i punti base A e B del fascio mentre in λ=-1 la parabola degenere si presenta come una coppia di rette parallele all'asse di simmetria.
Nota. In un fascio di parabole al variare del parametro λ cambia sia il segno del coefficiente A e del coefficiente C. Entrambi questi termini influiscono sull'apertura della parabola nel grafico.
E così via.
