Moto rettilineo smorzato esponenzialmente

Il moto rettilineo smorzato esponenzialmente è caratterizzato da una velocità che si riduce in modo esponenziale nel tempo. $$ a=-kv $$

Il moto è soggetto a una forza resistente proporzionale alla velocità.

L'accelerazione è sempre contraria alla velocità.

La formula della velocità

La velocità nel tempo

La formula della velocità del moto rettilineo smorzato esponenzialmente è $$ v(t) = v_0 e^{-kt} $$

Dove v0 è la velocità iniziale del corpo nell'istante t=0.

La velocità si riduce nel corso del tempo in modo esponenziale.

la velocità nel moto rettilineo smorzato esponenzialmente

Nota. La velocità iniziale v0 può essere qualsiasi ma non deve essere nulla. Se la velocità iniziale fosse pari a zero, la velocità resterebbe nulla nel tempo. L'incremento del valore k rende lo smorzamento più rapido (e viceversa).
il moto rettilineo uniforme con valori di velocità iniziale differenti e k diverso

Dimostrazione

Sapendo che l'accelerazione è la derivata prima della velocità

$$ a=-kv $$

$$ \frac{δv}{δt}=-kv $$

$$ \frac{δv}{v}=-kδt $$

Metto sotto integrale entrambi i membri

$$ \int_{v_0}^v \frac{δv}{v}= \int_{0}^t -kδt $$

$$ log \frac{v}{v_0} = -kt $$

$$ v = v_0 \cdot e^{-kt} $$

La velocità nello spazio

La variazione della velocità rispetto alla posizione del punto nello spazio

Nello spazio la velocità v(x) si riduce in modo lineare decrescente $$ v(x) = v_0 -kx $$

La velocità v(x) si azzera nella posizione x=v0/k dove il punto si ferma.

la variazione della velocità nello spazio

Dimostrazione

L'accelerazione del corpo nel tempo è

$$ a = \frac{dv}{dt} $$

Moltiplico entrambi i membri per dx

$$ a = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{dx}{dx} $$

$$ a = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} $$

Il rapporto dx/dt è la velocità v

$$ a = \frac{dv}{dx} \cdot v $$

Nel moto smorzato esponenzialmente l'accelerazione è a=-kv

$$ -kv = \frac{dv}{dx} \cdot v $$

Semplifico eliminando la v nel membro di destra e di sinistra

$$ -k = \frac{dv}{dx} $$

Sposto dx a sinistra

$$ -k \cdot dx = dv $$

Quindi integro

$$ \int_0^x -k \cdot dx = \int_{v_0}^v dv $$

$$ -k \int_0^x dx = \int_{v_0}^v dv $$

$$ -k \cdot x = v(x)-v_0 $$

E ottengo la formula

$$ v(x) = v_0-k \cdot x $$

La legge oraria

La legge oraria del moto rettilineo smorzato esponenzialmente è $$ x = x_0 + \frac{v_0}{k}(1-e^{-kt}) $$

Dove x0 è la posizione iniziale, v0 è la velocità iniziale e k è un parametro che dipende dalla forma, dalla massa e dalla densità del corpo in moto.

la legge oraria del moto smorzato esponenzialmente

Nota. Poiché la velocità si riduce nel tempo, il moto del punto uniforme rallenta in modo esponenziale fino a fermarsi del tutto nella posizione v0/k.

Il punto tende asintoticamente alla posizione v0/k.

Nella posizione x=v0/k la velocità si annulla e il punto si ferma.

Dimostrazione

La legge del moto orario si ottiene integrando la velocità v(t) rispetto al tempo

$$ x(t) = x_0 + \int_0^t v(t) \: dt $$

Sapendo che v(t)=v0e-kt

$$ = x_0 + \int_0^t v_0 e^{-kt} \: dt $$

$$ = x_0 + v_0 \int_0^t e^{-kt} \: dt $$

L'integrale di ∫e-kt rispetto alla variabile t è (e-kt)/-k

Quindi, applico il teorema fondamentale dell'integrazione.

$$ = x_0 + v_0 \cdot [ \frac{e^{-kt}}{-k} ]^t_0 $$

$$ = x_0 + v_0 \cdot ( \frac{e^{-kt}}{-k} - \frac{e^{-k·0}}{-k} ) $$

$$ = x_0 + v_0 \cdot ( \frac{e^{-kt}}{-k} - \frac{1}{-k} ) $$

$$ = x_0 - \frac{v_0}{k} \cdot ( e^{-kt} - 1 ) $$

$$ = x_0 + \frac{v_0}{k} \cdot ( 1 - e^{-kt} ) $$

La costante tempo

Nel moto smorzato esponenzialmente il valore k determina la rapidità o meno della decrescita.

  • Se k è grande, la decrescita è rapida
  • Se k è piccolo, la decrescita è lenta

Per analizzare questo fenomeno studio la variazione della funzione e-kt rispetto a una variazione di tempo τ.

$$ \frac{e^{-k(t+τ)}}{e^{-kt}} $$

Svolgo le semplificazioni algebriche

$$ = e^{-kτ} $$

Ponendo τ=1/k ottengo

$$ = e^{-k\frac{1}{k}} $$

$$ = e^{-1} $$

Con questo valore τ la funzione diventa una funzione esponenziale con e=2.72 ed è facile da misurare.

La costante τ=1/t è detta costante tempo e si misura in secondi.

In questo caso la velocità si smorza quasi completamente dopo 5τ

il moto smorzato esponenzialmente con la costante tempo

Contemporaneamente il moto si arresta a 1 dopo 5τ

il moto si smorza dopo 5 tau

Nota. E' evidente che il valore della costante tempo sia correlato inversamente al valore di k. Se k è grande, τ è piccolo e viceversa.

E così via.


 
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