Legge di Dalton sui gas
Cosa dice la legge di Dalton
La pressione totale di una miscela gassosa è determinata dalla somma delle pressioni parziali di ogni gas che compone la miscela. $$ P_{tot} = P_1 + P_2 + ... + P_k $$
Dove P1, P2, ... , Pk sono le pressioni parziali dei k gas presenti nella miscela gassosa.
Questa legge è anche conosciuta come legge delle pressioni parziali.
La pressione parziale di un gas
Cos'è la pressione parziale
La pressione parziale di un gas in una miscela gassosa è la pressione del gas se fosse l'unico componente della miscela a parità di volume V e di temperatura T. E' pari a $$ p_i = \frac{n_1}{n} P $$
Dove p1 è la pressione parziale del gas, n1 è il numero di moli del gas, n è il numero di moli totali della miscela e P è la pressione totale della miscela.
Il rapporto tra il numero di moli della specie e quello della miscela gassosa è detto frazione molare del gas i.
$$ \frac{n_i}{n} $$
Dimostrazione
In una miscela in un volume V sono presenti due gas, ognuno ha una particolare pressione (P1, P2) e un determinato numero di moli (n1, n2).
Posso scrivere entrambi i gas tramite l'equazione generale di stato dei gas.
$$ P_1 V = n_1 RT $$
$$ P_2 V = n_2 RT $$
Il volume V del recipiente è lo stesso perché i gas sono presenti in una miscela.
Anche la temperatura T e la costante universale dei gas R sono le stesse.
Sommo le equazioni di stato dei due gas membro a membro.
$$ P_1 V + P_2 V = n_1 RT + n_2 RT $$
Poi semplifico algebricamente
$$ (P_1 + P_2)V = (n_1+n_2) RT $$
La somma P1+P2 è la pressione totale P della miscela
Quindi, posso scrivere semplicemente P al membro di destra dell'equazione.
$$ PV = (n_1+n_2) RT $$
La somma n1+n1 è, invece, il numero di moli n presenti nella miscela.
Quindi, posso scrivere semplicemente n al membro di sinistra dell'equazione.
$$ PV = nRT $$
Ho così ottenuto l'equazione di stato della miscela.
Nota. Con lo stesso metodo posso ottenere l'equazione di stato di una miscela con più di due gas componenti. Il principio è generale.
Se la pressione parziale del gas i-esimo della miscela è
$$ P_i V = n_i RT $$
Metto in evidenza le variabili relative al gas i-esimo a sinistra dell'equazione e quelle generali a destra.
$$ \frac{P_i}{n_i} = \frac{RT}{V} $$
Sapendo dall'equazione generale dei gas che RT/V è uguale a P/n
$$ \frac{RT}{V} = \frac{P}{n} $$
Sostituisco RT/V con P/n nell'equazione del gas i-esimo e ottengo
$$ \frac{P_i}{n_i} = \frac{RT}{V} $$
$$ \frac{P_i}{n_i} = \frac{P}{n} $$
Infine, sposto il numero di moli ni del gas nel membro di destra e ottengo la formula della pressione parziale del gas.
$$ P_i = \frac{n_i}{n}P $$
Ho dimostrato la formula della pressione parziale.
Dimostrazione alternativa. In alternativa, per dimostrare la formula delle pressioni parziali posso dividere membro a membro l'equazione di un gas i-esimo $$ P_i V = n_i RT $$ per l'equazione di stato della miscela $$ PV = nRT $$ ottenendo il rapporto $$ \frac{P_i V }{PV}= \frac{n_i RT}{nRT} $$ poi semplifico $$ \frac{P_i}{P}= \frac{n_i}{n} $$ e spostando n a destra ottengo la formula della pressione parziale del gas $$ P_i = \frac{n_i}{n} P $$
E così via.
