Equazione di van der Waals
Cos'è l'equazione di van der Waals
Il volume di un gas reale è pari al volume del recipiente diminuito del volume delle molecole (a) e del covolume (b). $$ (P+\frac{a}{V^2}) \cdot (V-b) = RT $$ Dove a e b sono costanti determinate per ogni gas.
L'equazione di van der Walls è una variante modificata dell'equazione generale di stato per i gas reali.
A differenza dei gas ideali, i gas reali hanno le seguenti peculiarità
- Il volume delle molecole non è nullo. Quindi, il volume del recipiente in cui le molecole sono libere di muoversi è inferiore perché una parte dello spazio è occupato dal volume delle molecole.
- L'interazione tra le molecole non è nulla. Le interazioni intermolecolari generano una di pressione interna. Rispetto ai gas ideali la pressione di un gas reale sulle pareti del recipiente è ridotta dalla forza di attrazione tra le molecole del gas.
Nota. L'equazione di van der Waals non è l'unica a stimare il comportamento dei gas reali. Ne esistono anche altre.
La spiegazione e dimostrazione
L'equazione generale di stato dei gas interpreta il comportamento dei gas ideali.
$$ PV = nRT $$
Tuttavia, un gas ideale (o gas perfetto) è soltanto un'astrazione teorica.
Il comportamento dei gas reali diverge da quello dei gas ideali. In particolar modo in condizioni ambientali di alte pressioni e/o basse temperature.
- Quando la pressione è alta, il volume delle molecole del gas e le interazioni tra le molecole non sono più un fattore trascurabile.
- Quando la temperatura è bassa, le particelle hanno minore energia cinetica e sono soggette maggiormente alle interazioni reciproche tra particelle.
La differenza tra gas reali e ideali. Nei gas reali le molecole hanno un volume proprio e interagiscono tra loro. Nei gas ideali, invece, per definizione le molecole sono puntiformi, ossia prive di volume proprio, e non interagiscono tra loro.
Per stimare il comportamento dei gas reali si utilizza un'equazione di stato appositamente modificata, detta equazione di van der Waals.
$$ (P+\frac{a}{V^2}) \cdot (V-b) = RT $$
Dove a e b sono coefficienti misurati sperimentalmente per ogni gas reale.
La modifica al volume
Nel caso dei gas reali, per calcolare il volume del gas devo considerare anche il volume delle singole particelle del gas.
Poiché le molecole non sono più puntiformi, il volume libero del recipiente in cui sono libere di muoversi viene ridotto dallo spazio occupato dalle molecole stesse.
Nota. Il volume occupato dalle particelle del gas reale non è uguale al volume geometrico delle molecole bensì al volume di ingombro (covolume) pari a 4 volte il volume geometrico.
Quindi, il volume occupato da una mole di gas è uguale al volume ideale più il covolume (b).
$$ V_{reale} = V_{ideale} + b $$
Se il gas ha n moli il volume reale diventa
$$ V_{reale} = V_{ideale} + n \cdot b $$
Mentre il volume ideale lo ottengo per differenza.
$$ V_{ideale} = V_{reale} - n \cdot b $$
Pertanto, nell'equazione di stato dei gas posso sostituire V (volume ideale) con (Vreale-nb).
$$ PV = nRT $$
$$ P(V_{reale}-nb)=nRT $$
La modifica alla pressione
Per calcolare la pressione di un gas reale devo considerare anche le interazioni attrattive tra le particelle.
- Quando la pressione non è eccessivamente alta, le interazioni attrattive prevalgono sulle interazioni repulsive.
- Quando una particella urta sulla parete, la particelle perde energia cinetica.
L'interazione tra le particelle crea una pressione interna che riduce la pressione del gas sulle pareti del recipiente.
Cos'è la pressione interna? Le particelle del gas che urtano contro la parete sono soggette alla forza di attrazione delle particelle vicine, più interne. Pertanto, alla pressione verso l'esterno si oppone una pressione verso l'intero. Nei gas ideali si considera solo la pressione verso l'esterno mentre nei gas reali bisogna considerare anche la pressione verso l'interno.
Pertanto, a parità di condizioni la pressione di una mole di un gas reale è inferiore rispetto a quella di un gas ideale.
In generale la pressione di un gas dipende dalla densità
$$ P = \frac{n}{V} $$
dove n sono le moli delle particelle e V è il volume del recipiente.
In un gas reale la pressione dipende anche dalle particelle che circondano ogni particella che urta le pareti. Di nuovo la densità (n/v)
A cui va aggiunto un fattore(a) caratteristico del tipo di gas.
$$ P_{reale} = P_{ideale} - a \frac{n^2}{V^2} $$
Da cui ricavo la pressione del gas ideale
$$ P_{ideale} = P_{reale} + a \frac{n^2}{V^2} $$
Nell'equazione di stato del gas la variabile P indica il gas ideale.
$$ P(V_{reale}-nb) = nRT $$
Sostituisco P con Preale+an2/v2
$$ (P_{reale} + a \frac{n^2}{V^2})(V-nb) = nRT $$
Ho così ottenuto l'equazione di stato di un gas reale.
Non è un'equazione universale perché ogni gas è caratterizzato da coeffiienti a e b diversi.
Nota. Per ogni gas esiste una temperatura caratteristica, detta temperatura di Boyle, in cui il comportamento del gas passa da ideale a reale. In questi casi non è possibile considerare un'unica equazione generale ma due equazioni, una per la fase ideale e l'altra per la fase reale del gas.
E così via.
