L'equazione di stato dei gas ideali
L'equazione di stato dei gas ideali fornisce una buona approssimazione sul comportamento e le proprietà dello stato gassoso di qualsiasi gas. $$ PV=nRT $$
Dove P è la pressione, V è il volume, n è il numero di moli, R è la costante universale dei gas, T è la temperatura.
L'equazione di stato dei gas ideali si ottiene unendo le leggi fondamentali dei gas ideali: la legge di Boyle e le due leggi di Charles-Gay Lussac.
$$ \frac{P_0V_0}{T_0} = \frac{PV}{T} $$
Dove P0V0/T0 = R è la costante universale dei gas.
Quindi, posso scrivere semplicemente R
$$ R = \frac{PV}{T} $$
Per una mole di gas il prodotto PV è pari a
$$ RT = PV $$
Considerando n moli di gas diventa
$$ nRT=PV $$
Nota. Questa equazione è indipendente dal tipo di gas perché non include alcun parametro che specifica la natura del gas. Quindi, può essere usata per studiare il comportamento di qualsiasi gas. Per questa ragione si parla di equazione generale di stato del gas. Pur essendo pensata per i gas ideali (gas perfetti) può essere usata anche per approssimare il comportamento di molti gas reali in condizioni normali di temperatura e pressione ossia 0°C e 1 atm.
La dimostrazione dell'equazione di stato dei gas
Per prima cosa devo dimostrare la validità dell'equazione seguente che si ottiene unendo le leggi fondamentali dei gas ideali.
$$ \frac{P_0V_0}{T_0} = \frac{PV}{T} $$
Aumento la pressione da P0 a P a parità di temperatura T=T0 (trasformazione isoterma),
$$ P_0V_0 = PV $$
Un aumento della pressione produce una riduzione del volume del gas, come previsto dalla legge di Boyle.
$$ \frac{P_0V_0}{P} = V $$
Per semplicità chiamo il nuovo valore del volume del gas V=V1 perché si tratta di un valore intermedio.
$$ \frac{P_0V_0}{P} = V_1 $$
A questo punto aumento la temperatura da T0 a T1 mantenendo costante la pressione (trasformazione isobara).
Sapendo dalla prima legge di Gay-Lussac che V=TV0/T0 e che in questo caso il volume iniziale è V1 (e non V0) perché il volume è già cambiato, posso calcolare la nuova variazione del volume.
$$ V_2 = \frac{TV_1}{T_0} $$
Nota. Secondo la prima legge di Gay-Lussac i rapporti tra pressione e temperatura sono costanti $$ \frac{V}{T} = \frac{V_0}{T_0} $$ Quindi $$ V= \frac{TV_0}{T_0} $$
Ora sostituisco V1=P0V0/P ottenuto precedentemente nell'equazione di V2.
$$ V_2 = \frac{TV_1}{T_0} $$
$$ V_2 = \frac{T}{T_0} \cdot V_1 $$
$$ V_2 = \frac{T}{T_0} \cdot \frac{P_0V_0}{P} $$
$$ V_2 = \frac{TP_0V_0}{T_0P} $$
Il volume V2 è il volume finale del gas.
Quindi lo chiamo per semplicità V.
$$ V = \frac{TP_0V_0}{T_0P} $$
Con un semplice passaggio algebrico la formula diventa
$$ \frac{VP}{T} = \frac{P_0V_0}{T_0} $$
Ho così dimostrato che l'equazione iniziale deriva dall'unione delle leggi fondamentali dei gas ideali.
A condizioni normali la pressione P0 è pari a 1 atm mentre la temperatura assoluta iniziale T0 è pari a 273,15 K ossia 0°C.
$$ \frac{VP}{T} = \frac{(1 \: atm)V_0}{273K} $$
Secondo la legge di Avogadro il volume molare di un gas in condizioni normali di pressione e temperatura è pari a 22,4141 litri/mol.
Quindi, V0=22,4141 l/mol
$$ \frac{VP}{T} = \frac{(1 \: atm) \cdot (22,4141 \: l/mol)}{273K} $$
$$ \frac{VP}{T} = 0,0821 \: atm \: l \: mol^{-1} \: K^{-1} $$
Questo valore (0,0821) è costante per qualsiasi gas.
Per questa ragione è detto costante universale dei gas ed è indicato con il simbolo R.
$$ R = \frac{P_0V_0}{T_0} = 0,8221 $$
Nota. Nel Sistema Internazionale (SI) la costante universale dei gas è indicata in Joule $$ R=8,314 \: J \: K^{-1} \: mol^{-1} $$
Pertanto, ricapitolando la formula precedente diventa
$$ \frac{VP}{T} = \frac{P_0V_0}{T_0} $$
$$ \frac{VP}{T} = 0,0821 \: atm \: l \: mol^{-1} \: K^{-1} $$
$$ \frac{VP}{T} = R $$
Sposto la temperatura T al secondo membro e ottengo l'equazione di stato dei gas per una mole di gas (n=1).
$$ PV = RT $$
Considerando n moli di gas
$$ PV = nRT $$
Ho così ottenuto l'equazione generale di stato dei gas per n moli di gas.
Come calcolare la massa molecolare del gas
Sapendo che la massa molare (M) di una sostanza è il peso/massa in grammi di una mole.
La massa (m) di una particolare quantità della sostanza è la massa molare moltiplicata per il numero di moli (n).
$$ m = n \cdot M $$
Quindi, il numero di moli (n) è uguale alla massa complessiva (m) divisa la massa molare (M).
$$ n = \frac{m}{M} $$
Esempio. La massa molare del sodio è 23 g/mol. In una massa di 69 grammi ci sono n=3 moli di sodio.
L'equazione di stato di un gas è
$$ PV = nRT $$
Sostituisco n con la precedente formula
$$ PV = \frac{m}{M} RT $$
Metto in evidenza M per calcolare la massa molare.
$$ M = \frac{m}{PV} RT $$
Questa formula mi permette di calcolare la massa molare del gas conoscendo la massa (m) della quantità di gas, la pressione (P), il volume (V) e la temperatura (T).
Come calcolare la densità del gas
La densità assoluta del gas (d) è il rapporto tra la massa (m) e il volume (V).
$$ d = \frac{m}{V} $$
Riprendo l'equazione della massa molare.
$$ M = \frac{m}{PV} RT $$
Poi metto in evidenza il rapporto m/V.
$$ \frac{m}{V} = \frac{M \cdot P}{RT} $$
Questa formula mi permette di calcolare la densità assoluta del gas (d).
Il calcolo della densità relativa di due gas. Dopo aver calcolato la densità assoluta di due gas, per calcolare la densità relativa (dr) mi basta mettere in rapporto le due densità assolute dei gas $$ d_r = \frac{d_1}{d_2} $$ Sapendo che d1=M1P/RT e d2=M2P/RT. $$ d_r = \frac{ \frac{M_1P}{RT} }{ \frac{M_2P}{RT} } = \frac{M_1P}{RT} \frac{RT}{M_2P} = \frac{M_1}{M_2} $$ La pressione (P), la costante universale dei gas (R) e la temperatura (T) sono uguali e si semplificano. Quindi la densità relativa dei due gas è uguale al rapporto tra le due masse molari o le due masse molecolari.
L'equazione di stato di una miscela
L'equazione di stato di una miscela composta da n moli di più gas è uguale all'equazione di stato di n moli di un solo gas.
Dimostrazione
Una miscela è composta da due gas in un recipiente di volume V alla temperatura T.
Ogni gas è caratterizzato da una pressione parziale (p1, p2) e da un numero di moli (n1, n2) e può essere scritto tramite l'equazione di stato.
$$ P_1 V = n_1 RT $$
$$ P_2 V = n_2 RT $$
Sommo membro a membro le due equazioni
$$ P_1 V + P_2 V = n_1 RT + n_2 RT $$
$$ (P_1 + P_2) V = (n_1 + n_2) RT $$
Secondo la legge di Dalton la pressione totale P di una miscela è pari alla somma delle pressioni parziali.
Quindi, posso sostituire P1+P2 con P
$$ P V = (n_1 + n_2) RT $$
La somma n1+n2 determina il numero di moli (n) della miscela.
Quindi, posso sostituire n1+n2 con n
$$ P V = nRT $$
Pertanto, l'equazione di stato di una miscela di gas è uguale all'equazione di stato di un gas ideale.
Nota. Posso applicare la stessa dimostrazione a una miscela con più di due gas componenti. Il risultato è sempre lo stesso.
E così via.
