Come determinare le equazioni cartesiane del sottospazio

Per ottenere l'equazione cartesiana o il sistema di equazioni cartesiane di un sottospazio, devo analizzare lo spazio vettoriale che lo contiene V e l'insieme dei vettori generatori LR che genera tutto il sottospazio vettoriale W.

Come trovare le equazioni cartesiane

Prendo come esempio uno spazio vettoriale V=R^4 nel campo dei numeri reali K=R.

La dimensione dello spazio vettoriale V è quattro.

$$ dim(V)=n=4 $$

Poi considero un sottospazio W

$$ W ⊆ V $$

Il sottospazio W è composto da tutti i vettori ottenuti con un sistema di generatori.

$$ W = L_R =\{ w_1 , w_2 \} $$

dove w1 e w2 sono i vettori linearmente indipendenti che generano tutti gli altri vettori v del sottospazio W tramite una combinazione lineare.

$$ v = a_1 w_1 + a_2 +w_2 $$

La dimensione del sottospazio W è due, perché è generato da due vettori.

$$ dim(W)=2 $$

In questo caso specifico uso come vettori generatori i seguenti:

$$ w_1 = (2,1,1,0) $$ $$ w_2 = (0,3,0,1) $$

Nota. I due vettori sono una base vettoriale perché sono linearmente indipendenti. Il rango della matrice dei vettori è uguale a due (r=2) ed è uguale alla dimensione del sottospazio W ossia al numero dei vettori.

A questo punto ho tutte le informazioni utili per costruire le equazioni cartesiane del sottospazio.

Quante sono le equazioni cartesiane del sottospazio?

Il numero delle equazioni cartesiane lo ottengo tramite la codimensione di W, ossia la differenza tra la dimensione dello spazio vettoriale V e quella del sottospazio W.

$$ codim(W)= dim(V)-dim(W) = 4-2 = 2 $$

Quindi, sono necessarie due equazioni cartesiane.

Come trovare le equazioni cartesiane?

Prendo un generico vettore w del sottospazio W.

Si trova in uno spazio vettoriale V di dimensione 4, quindi il vettore è composto da 4 elementi.

$$ w = ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) $$

Poi costruisco la matrice dei vettori con i due vettori del generatore (w1 e w2) e il vettore generico (w) del sottospazio.

$$ \begin{pmatrix} 2 & 0 & x_1 \\ 1 & 3 & x_2 \\ 1 & 0 & x_3 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} $$

Poiché w è linearmente dipendente dai vettori w1 e w2, perché può essere ottenuto da una combinazione lineare di questi ultimi.

Quindi, la matrice dei vettori deve avere rango uguale a due.

Nota. Il rango di una matrice di vettori è uguale al numero dei vettori linearmente indipendenti nella matrice. In questo caso sono due ossia w1 e w2.

Ora , seleziono un minore complementare qualsiasi di ordine 2 con determinante non nullo dalla matrice dei vettori.

Ad esempio, prendo il minore complementare in alto a sinistra.

come verificare se il rango della matrice è uguale a due

Poi applico il teorema degli orlati per trovare le matrici orlate di ordine 3.

Sapendo che il rango della matrice è sicuramente uguale due (r=2), posso affermare che le matrici di ordine 3 sono tutte nulle ossia hanno tutte il determinante uguale a zero.

$$ det \begin{pmatrix} 2 & 0 & x_1 \\ 1 & 3 & x_2 \\ 1 & 0 & x_3 \end{pmatrix} = 6 x_3 - 3 x_1 = 0$$

$$ det \begin{pmatrix} 2 & 0 & x_1 \\ 1 & 3 & x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} = 6 x_4 + x_1 - 2 x_2 = 0$$

Nota. In questo caso il calcolo del determinante mi serve soltanto per costruire le equazioni cartesiane. So già per certo che la matrice non ha minori complementari di ordine 3. Per questa ragione tutte le equazioni sono uguali a zero.

Le matrici orlate mi permettono di ottenere delle equazioni omogenee nelle incognite {x1,x2,x3,x4}-

Le dispongo in un sistema di equazioni e ho così ottenuto il sistema delle equazioni cartesiane del sottospazio W.

$$ \begin{cases} 6 x_3 - 3 x_1 = 0 \\ 6 x_4 + x_1 - 2 x_2 = 0 \end{cases} $$

Sono esattamente due equazioni cartesiane come previsto dalla codimensione del sottospazio vettoriale.

Queste equazioni individuano tutti i vettori del sottospazio W.

Come fare una verifica? Per verificare le equazioni cartesiane prendo le coordinate dei vettori w1 e w2 della base e li sostituisco alle incognite x1, x2, x3, x4 del sistema di equazioni. Se il calcolo è corretto, le equazioni dovrebbero essere uguali a zero. $$ \begin{cases} w_1 = (2,1,1,0) = (x_1=2,x_2=1,x_3=1,x_4=0) \\ w_2 = (0,3,0,1) = (x_1=0,x_2=3,x_3=0,x_4=1) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6 x_3 - 3 x_1 = 0 & con \:\: x_1=2 , x_3=1 \:\: di \:\: w_1= (2,1,1,0) \\ 6 x_4 + x_1 - 2 x_2 = 0 & con \:\: x_1=0 , x_2=3, x_4=1 \:\: di \:\: w_2= (0,3,0,1) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6(1) - 3(2) = 0 \\ 6(1) + 0 - 2(3) = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6 - 6 = 0 \\ 6 - 6 = 0 \end{cases} $$

Come trovare le equazioni cartesiane con il metodo di Gauss Jordan

Posso ottenere il sistema di equazioni anche utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss Jordan, trasformando la matrice dei vettori in una matrice a gradini.

$$ \begin{pmatrix} 2 & 0 & x_1 \\ 1 & 3 & x_2 \\ 1 & 0 & x_3 \\ 0 & 1 & x_4 \end{pmatrix} $$

I pivot della matrice a gradini individuano i vettori linearmente indipendenti, ossia la prima e la seconda riga.

$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 & x_2 \\ 0 & 1 & x_4 \\ 0 & 0 & x_1 - 2 x_2 + 6 x_4 \\ 0 & 0 & x_3 -x_2 + 3 x_4 \end{pmatrix} $$

Nota. Per semplicità ho omesso tutti i passaggi della trasformazione della matrice iniziale in una matrice a gradini tramite il metodo di Gauss-Jordan. Si possono comunque vedere nel dettaglio in questo esercizio.

Sapendo che la matrice dei vettori ha rango 2, so per certo che le altre due righe devono essere nulle.

Seleziono le ultime due righe e le dispongo in un sistema.

Ho così ottenuto il sistema di equazioni cartesiane del sottospazio seguendo un'altra via.

$$ \begin{cases} x_1 - 2 x_2 + 6 x_4 = 0 \\ x_3 -x_2 + 3 x_4 = 0 \end{cases} $$

Come fare una verifica? Per verificare le equazioni cartesiane prendo gli elementi delle coordinate dei vettori w1 e w2 della base e li sostituisco alle incognite x1, x2, x3, x4 del sistema di equazioni. Se il calcolo è corretto, le equazioni cartesiane dovrebbero essere uguali a zero. $$ \begin{cases} w_1 = (2,1,1,0) = (x_1=2,x_2=1,x_3=1,x_4=0) \\ w_2 = (0,3,0,1) = (x_1=0,x_2=3,x_3=0,x_4=1) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} x_1 - 2 x_2 + 6 x_4 = 0 & con \:\: x_1=2 , x_2=1 , x_4=0 \:\: di \:\: w_1= (2,1,1,0) \\ x_3 -x_2 + 3 x_4 = 0 = 0 & con \:\: x_2=3 , x_3=0 , x_4=1 \:\: di \:\: w_2= (0,3,0,1) \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2 - 2(1) + 6(0) = 0 \\ 0 -3 + 3(1) = 0 = 0 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 2 - 2 = 0 \\ 3 - 3 = 0 \end{cases} $$

Quando conviene usare Gauss-Jordan?

Quest'ultimo metodo è particolarmente utile quando il minore complementare è di ordine elevato e il calcolo del determinante diventa un'operazione complessa.

E' invece un metodo poco pratico se il minore complementare è di ordine basso.



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