[Esempio] Come determinare le equazioni parametriche di un sottospazio vettoriale
Per scrivere le equazioni parametriche di un sottospazio W nello spazio vettoriale V=R4 nel campo dei numeri reali K=R, prendo un sistema di generatori W che determina il sottospazio.
$$ W = \{ w_1 , w_2 \} $$
I vettori del sistema di generatori del sottospazio W sono;
$$ w_1 = ( 2, 1, 1, 0) $$ $$ w_2 = ( 0, 3, 0, 1) $$
Nota. I due vettori w1 e w2 sono linearmente indipendenti perché il rango della matrice dei vettori (r=2) è uguale al numero dei vettori (n=2). Pertanto, i due vettori del sistema di generatori sono una base per il sottospazio W. $$ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Lo spazio vettoriale V=R4 ha una dimensione pari a 4.
$$ dim(V)=4 $$
Il sottospazio W ha dimensione 2 perché è composto da due vettori w1 e w2.
$$ dim(W)=2 $$
Quindi, il sottospazio W ha una codimensione pari a 2.
$$ codim(W) = dim(V) - dim(W) = 4-2 = 2 $$
Per trovare le equazioni parametriche scrivo gli elementi di un generico vettore w di W sotto forma di combinazione lineare con due parametri t1 e t2.
$$ w ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = t_1 w_1 + t_2 w_2 $$
Quindi
$$ w ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = t_1 ( 2, 1, 1, 0) + t_2 ( 0, 3, 0, 1) $$
$$ w ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = ( 2t_1 , t_1 , t_1 , 0) + ( 0, 3t_2, 0, t_2) $$
$$ w ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = ( 2t_1 , t_1+3t_2 , t_1 , t_2) $$
Ho così trovato il sistema di equazioni parametriche:
$$ \begin{cases} x_1 = 2t_1 \\ x_2 = t_1+3t_2 \\ x_3 = t_1 \\ x_4 = t_2 \end{cases} $$
