Proiezione ortogonale di un vettore su un sottospazio

La proiezione ortogonale di un vettore in un sottospazio è la somma delle proiezioni ortogonali del vettore v in ogni vettore w della base. E' possibile soltanto se la base è ortogonale. $$ P_W(v) = P_{w1}(v)+...+P_{wn}(v) $$

Ogni proiezione ortogonale P del vettore v su un vettore w è determinata dai coefficienti di Fourier:

$$ P_{w}(v) =\frac{<v,w>}{<w,w>} \cdot w $$

    Un esempio pratico

    Prendo un sottospazio W in R3 nel campo K=R.

    La base del sottospazio è la seguente:

    $$ W = L_R \{ w_1, w_2 \} $$

    con

    $$ w_1 = (1,1,-2) \\ w_2 = (1,1,1) $$

    Si tratta di una base ortogonale perché il prodotto scalare dei vettori che la compongono è uguale a zero.

    $$ <w_1,w_2> = 0 $$

    Il vettore v di cui voglio calcolare la proiezione ortogonale sul sottospazio W è il seguente:

    $$ v = (2,1,3) $$

    La proiezione ortogonale del vettore v sul sottospazio W è la seguente

    $$ P_W(v) = P_{w_1}(v) + P_{w_2}(v) $$

    $$ P_W(v) = \frac{<v,w_1>}{<w_1,w_1>} \cdot w_1 + \frac{<v,w_2>}{<w_2,w_2>} \cdot w_2 $$

    $$ P_W(v) = \frac{<(2,1,3),(1,1,-2)>}{<(1,1,-2),(1,1,-2)>} \cdot (1,1,-2) + \frac{<(2,1,3),(1,1,1)>}{<(1,1,1),(1,1,1)>} \cdot (1,1,1) $$

    $$ P_W(v) = \frac{1}{6} \cdot (1,1,-2) + 2 \cdot (1,1,1) $$

    $$ P_W(v) = (1 \cdot \frac{1}{6},1 \cdot \frac{1}{6},-2 \cdot \frac{1}{6}) + (1 \cdot 2 ,1 \cdot 2 ,1 \cdot 2 ) $$

    $$ P_W(v) = ( \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, - \frac{1}{3}) + (2 ,2 ,2 ) $$

    $$ P_W(v) = ( \frac{2}{6}, \frac{2}{6}, - \frac{2}{3}) $$

    $$ P_W(v) = ( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, - \frac{2}{3}) $$

    Ho così ottenuto la proiezione ortogonale del vettore sul sottospazio W.

     


     

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