Esercizio sulle basi degli spazi vettoriali 1
Nello spazio vettoriale V=R3 trovare una base che comprenda i vettori v1=(2,-1,0) e v2=(1,1,3)
Soluzione
I due vettori v1 e v2
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} $$
I due vettori sono linearmente indipendenti.
Non occorre verificarlo perchè si vede a occhio che nessuno dei due è multiplo dell'altro.
La dimensione dello spazio vettoriale V=R3 è uguale a tre
$$ \dim V = 3 $$
Quindi la base dello spazio vettoriale deve contenere tre vettori linearmente indipendenti.
I due vettori v1 e v2 sono linearmente indipendenti ma non sono un insieme di generatori perché servono almeno tre vettori per formare un insieme di generatori di V=R3.
Devo aggiungere all'insieme {v1,v2} un altro vettore linearmente indipendente.
Scelgo a caso un vettore. Per semplicità aggiungo il vettore v3=(1,0,0) della base canonica.
$$ \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \vec{v}_3 \} $$
A questo punto devo verificare se i tre vettori sono linearmente indipendenti.
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 = \vec{0} $$
I vettori sono linearmente indipendenti se la loro combinazione lineare eguaglia il vettore nullo solo ponendo tutti i coefficienti uguali a zero (soluzione banale).
$$ k_1 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0} $$
$$ \begin{pmatrix} 2k_1 \\ -k_1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_2 \\ k_2 \\ 3k_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} 2k_1 + k_2 + k_3 \\ -k_1 + k_2 \\ 3k_2 \end{pmatrix} = 0 $$
Trasformo il sistema vettoriale in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \\ 3k_2 = 0 \end{cases} $$
Il sistema è di facile soluzione.
Sapendo che 3k2=0 divido entrambi i membri dell'equazione per tre e ottengo k2=0
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ -k_1 + k_2 = 0 \\ k_2 = 0 \end{cases} $$
Sostituisco k2=0 nelle prime due equazioni del sistema
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_3 = 0 \\ -k_1 = 0 \\ k_2 = 0 \end{cases} $$
Sapendo che -k1=0 moltiplico entrambi i membri dell'equazione per -1 e ottengo k1=0
$$ \begin{cases} 2k_1 + k_3 = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 = 0 \end{cases} $$
Sostituisco k1=0 nella prima equazione e ottengo k3=0
$$ \begin{cases} k_3 = 0 \\ k_1 = 0 \\ k_2 = 0 \end{cases} $$
Il sistema ammette una sola soluzione (k1=0, k2=0, k3=0).
L'unica soluzione per ottenere il vettore nullo è la combinazione lineare banale.
Pertanto, i tre vettori sono linearmente indipendenti.
Sapendo che la dimensione dello spazio vettoriale è dim(V)=3, la base deve essere composta da tre vettori linearmente indipendenti.
Quindi l'insieme dei vettori {v1,v2,v3} è una base dello spazio vettoriale.
$$ B_V = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , \vec{v}_3 \} $$
Nota. Non è necessario verificare che siano anche un insieme di generatori perché la dimensione dello spazio vettoriale è dim(V)=3 e tutte le basi sono composte da tre vettori linearmente indipendenti.
E così via.
