Cambiamenti di base dello spazio vettoriale
I vettori di uno spazio vettoriale V sono definiti da una base. Ogni spazio vettoriale non banale ha infinite basi. Per passare da una base a un'altra si utilizza la matrice del cambiamento di base ( o matrice del passaggio di base ).
La matrice del cambiamento di base da B1 a B2 è la matrice rappresentativa della funzione identità con base differente nel dominio (base iniziale) e nel codominio (base di destinazione). $$ M_{B_1,B_2} = A_{id_v,B_1,B_2} $$
Il passaggio da una base a un'altra dello spazio vettoriale modifica le coordinate di ogni vettore v ∈ V.
Nota. Quando cambia la base gli elementi del vettori restano sempre gli stessi, soltanto le coordinate cambiano.
Come cambiare la base di un vettore
Il passaggio di base da B1 a B2 delle coordinate di un vettore si ottiene con la seguente formula:
$$ C_{B_2}(v) = M_{B_1,B_2} \cdot C_{B_1}(v) $$
Viceversa, il passaggio di base da B2 a B1 si ottiene con la matrice inversa del cambio di base:
$$ C_{B_1}(v) = M_{B_1,B_2}^{-1} \cdot C_{B_2}(v) $$
Come trovare la matrice del cambio di base
Per cambiare la base posso usare due metodi:
Metodo 1
Dato uno spazio vettoriale V nel campo K=R.
$$ V = R^2 $$
Considero la funzione identità idR2 nello spazio vettoriale R2 a due dimensioni.
$$ \begin{cases} x \\ y \end{cases} $$
La base iniziale B1 e la base finale B2 sono le seguenti:
$$ B_1 = \{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
$$ B_2 = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
Le coordinate dei vettori CB1 rispetto alla base B1 sono i seguenti:
$$ C_{B_1} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ C_{B_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Per cambiare base calcolo le coordinate di un generico vettore della base B1 rispetto alla base B2.
$$ C_{B_1} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Comincio con le coordinate del primo vettore della base B1
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - a_2 \\ 2a_1 + a_2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{cases} a_1 - a_2 = 2 \\ 2a_1 + a_2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 = 2 + a_2 \\ 2(2 + a_2) + a_2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 = 2 + (-1) \\ a_2 = -1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 = 1 = 1 \\ a_2 = -1 \end{cases} $$
$$ C_{B_2} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Ho trovato la prima colonna della matrice rappresentativa del cambio di base.
Ora calcolo le coordinate dell'altro vettore della base B1 rispetto alla base B2.
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ 2a_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - a_2 \\ 2a_1 + a_2 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{cases} a_1 - a_2 = 1 \\ 2a_1 + a_2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 = 1+a_2 = -1 \\ 2(1+a_2) + a_2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 = 1+(-1/3) \\ a_2 = -1/3 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_1 = 2/3 \\ a_2 = -1/3 \end{cases} $$
$$ C_{B_2} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \end{pmatrix} $$
Ho così trovato la seconda colonna.
La matrice rappresentativa del cambio di base è la seguente:
$$ M_{B_1,B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2/3 \\ -1 & -1/3 \end{pmatrix} $$
Metodo 2
Posso calcolare la matrice del cambio di base anche passando tramite la base canonica dello spazio vettoriale.
$$ M_{B_1,B_2} = M_{B_2,ε_2}^{-1} M_{B_1,ε_2} $$
E' un metodo più semplice del precedente, perché nelle basi canoniche le coordinate sono uguali agli elementi dei vettori.
Pertanto, evito di calcolare le coordinate dei vettori.
Un esempio pratico
Le basi dello spazio vettoriale sono le seguenti:
$$ B_1 = \{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
$$ B_2 = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
La base canonica dello spazio vettoriale V=R2 è la seguente:
$$ ε_2 = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
Calcolo la matrice del cambio di base da B1 a ε2
Essendo una base canonica, la matrice del cambio di base è composta dai vettori di B1.
$$ M_{B_1,ε_2} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
Usando lo stesso metodo calcolo la matrice del cambio di base da B2 a ε2
$$ M_{B_2,ε_2} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$
Ora devo calcolare la matrice inversa di quest'ultima.
$$ M_{B_2,ε_2}^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 \\ -2/3 & 1/3 \end{pmatrix} $$
A questo punto ho tutti gli elementi per calcolare la matrice del cambio di base da B1 a B2.
$$ M_{B_1,B_2} = M_{B_2,ε_2}^{-1} M_{B_1,ε_2} $$
$$ M_{B_1,B_2} = \begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 \\ -2/3 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ M_{B_1,B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2/3 \\ -1 & -1/3 \end{pmatrix} $$
Ho così calcolato la matrice del cambio di base da B1 a B2 passando per la base canonica.
Questo metodo è più semplice del precedente.
Esempio di cambio di base
Una volta trovata la matrice del cambio di base, posso convertire le coordinate di un vettore dalla base B1 alla base B2.
$$ C_{B_2}(v) = M_{B_1,B_2} \cdot C_{B_1}(v) $$
Esempio 1
La base iniziale B1 e la base finale B2 sono le seguenti:
$$ B_1 = \{ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
$$ B_2 = \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \} $$
Il vettore v = (1,1) nella base B1 ha le seguenti coordinate:
$$ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{cases} 2a_1 + a_2 = 1 \\ a_1 + a_2 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 2(1-a_2) + a_2 = 1 \\ a_1 = 1-a_2 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2=1 \\ a_1 = 1-(1) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} a_2=1 \\ a_1 = 0 \end{cases} $$
$$ C_{B_1} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Per calcolare le coordinate del vettore v=(1,1) rispetto alla base B2 uso la matrice del cambio di base.
$$ C_{B_2}(v) = M_{B_1,B_2} \cdot C_{B_1}(v) $$
$$ C_{B_2}(v) = \begin{pmatrix} 1 & 2/3 \\ -1 & -1/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ C_{B_2}(v) = \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \end{pmatrix} $$
Ho così trovato le coordinate del vettore rispetto alla base B2.
$$ C_{B_2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \end{pmatrix} $$
Verifica. Per verificare il risultato applico le coordinate CB2 appena trovate in un generico vettore sulla base B2. La combinazione lineare restituisce come risultato un vettore con gli elementi (1,1). $$ v = 2/3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} -1/3 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ 4/3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1/3 \\ -1/3 \end{pmatrix} = = \begin{pmatrix} 2/3 + 1/3 \\ 4/3 - 1/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Esempio 2 (matrice inversa)
In questo esercizio devo calcolare le coordinate del vettore v(1,1) da B2 a B1.
Nell'esercizio precedente ho già calcolato le coordinate CB2.
$$ C_{B_2} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \end{pmatrix} $$
Conosco anche la matrice del cambio di base da B1 a B2.
$$ M_{B_1,B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 2/3 \\ -1 & -1/3 \end{pmatrix} $$
In questo caso però devo cambiare la base da B2 a B1.
Per farlo devo calcolare la matrice inversa.
$$ M_{B_1,B_2}^{-1} = M_{B_2,B_1} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} $$
Poi applicando la formula del cambio di base ottengo le coordinate del vettore rispetto alla base B1.
$$ C_{B_1} (v) = M_{B_2,B_1} C_{B_2} (v) $$
$$ C_{B_1} (v) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2/3 \\ -1/3 \end{pmatrix} $$
$$ C_{B_1} (v) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
E così via.
