Come calcolare l'intersezione di due sottospazi
Per determinare l'insieme di intersezione tra due sottospazi vettoriali W1 ⋂ W2 si sostituiscono le incognite x1,...,xn delle equazioni cartesiane di un sottospazio con i parametri delle equazioni parametriche t1,...,tn dell'altro sottospazio.
Esempio
Nello spazio vettoriale R4 nel campo dei numeri reali K=R ho due sottospazi W1 e W2.
$$ W_1 = L_R \{ w_1, w_2, w_3 \} \:\:\: con \begin{cases} w_1 =(1,1,0,0) \\ w_2 = (1,2,0,1) \\ w_3 = (0,1,0,1) \end{cases} $$
$$ W_2 = L_R \{ w_4, w_5, w_6 \} \:\:\: con \begin{cases} w_4=(1,-3,0,0) \\ w_5 = (0,0,1,0) \\ w_6 = (0,1,0,1) \end{cases} $$
Ora calcolo le equazioni parametriche del sottospazio W1.
Le equazioni parametriche del sottospazio W1 sono le seguenti:
$$ \begin{cases} x_1 = t_1 \\ x_2 = t_1 + t_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = t_2 \end{cases} \:\:\: con \:\: t_1, t_2. t_3 \in R $$
Nota. I passaggi per ottenere le equazioni parametriche sono descritti in questo esercizio.
L'intersezione di W1 ⋂ W2 contiene sicuramente una parte dei vettori di W1.
Pertanto alcuni vettori di W1 appartengono anche al sottospazio W2.
Da questo deduco che i vettori di W1 che si trovano nell'intersezione W1 ⋂ W2 devono rispettare anche le proprietà del sottospazio W2. Non solo quelle di W1.
Quindi, prendo un generico vettore di W1.
$$ w \in W_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 \\ t_1+t_2 \\ 0 \\ t_2 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo le equazioni cartesiane dell'altro sottospazio W2.
$$ 3x_1 + x_2 - x_4 = 0 $$
A questo punto sostituisco le incognite {x1,x2,x3,x4} dell'equazione cartesiana di W2 con i parametri dell'equazione parametrica di W1
$$ 3x_1 + x_2 - x_4 = 0 \:\:\:\:\:\:\: con \begin{cases} x_1 = t_1 \\ x_2 = t_1 + t_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = t_2 \end{cases} $$
$$ 3(t_1) + (t_1+t_2) - (t_2) = 0 $$
In questo modo aggiungo alle proprietà del sottospazio W2 quelle del sottospazio W1.
Svolgo i passaggi algebrici per semplificare l'equazione
$$ 4t_1= 0 $$
Ne consegue che t1 deve essere uguale a zero nell'intersezione W1 ⋂ W2.
$$ t_1= 0/4 = 0 $$
Pertanto, nell'intersezione W1 ⋂ W2 i vettori di W1 devono anche rispettare quest'ultima condizione, ossia t1=0
A questo punto modifico l'equazione parametrica di W1.
$$ w \in W_1 = \begin{cases} x_1 = t_1 \\ x_2 = t_1 + t_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = t_2 \end{cases} \:\:\: con \:\: t_1=0 $$
$$ w \in W_1 = \begin{cases} x_1 = t_1 = 0 \\ x_2 = 0 + t_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = t_2 \end{cases} $$
$$ w \in W_1 = \begin{cases} x_1 = 0 \\ x_2 = t_2 \\ x_3 = 0 \\ x_4 = t_2 \end{cases} $$
poi la trasformo in forma vettoriale per ottenere la combinazione lineare dei vettori in W1 ⋂ W2
$$ w \in W_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ t_2 \\ 0 \\ t_2 \end{pmatrix} $$
$$ w \in W_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = t_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
Ho così trovato i vettori che generano il sottospazio vettoriale dell'intersezione W1 ⋂ W2.
$$ W_1 ⋂ W_2 = L_R \{ (0,1,0,1) \} $$
In questo caso il vettore è soltanto uno, essendoci soltanto il parametro t2,
Essendo (0,1,0,1) un vettore linearmente indipendente, si tratta di una base del sottospazio vettoriale W1 ⋂ W2.
$$ W_1 ⋂ W_2 = B \{ (0,1,0,1) \} $$
Quindi, la dimensione del sottospazio intersezione è pari a 1.
$$ dim (W_1 ⋂ W_2)=1 $$
Ho così trovato le proprietà del sottospazio composto dall'intersezione dei due sottospazi W1 ⋂ W2.
