Come trovare la base vettoriale di un sottospazio
Per individuare e calcolare la base di un sottospazio vettoriale, è utile trasformare l'equazione cartesiana del sottospazio in un'equazione parametrica.
Un esempio pratico
Esempio 1
Nello spazio vettoriale V=R4 nel campo dei numeri reali K=R, ho un sottospazio W descritto dalla seguente equazione cartesiana:
$$ W = \{ (x_1 , x_2 , x_3 , x_4) \in R^4 , 4x_1 + x_2 - 2x_4 = 0 \} $$
Nell'equazione cartesiana metto in evidenza x2.
$$ x_2 = 2x_4 - 4x_1 $$
Poi trasformo le altre variabili incognite in parametri t
$$ x_1 = t_1 $$ $$ x_3 = t_2 $$ $$ x_4 = t_3 $$
In questo modo posso riscrivere x2 come equazione parametrica
$$ x_2 = 2t_3 - 4t_1 $$
Il sistema di equazioni parametriche diventa il seguente:
$$ \begin{cases} x_1 = t_1 \\ x_2 = 2t_3 - 4t_1 \\ x_3 = t_2 \\ x_4 = t_3 \end{cases} $$
A questo punto posso riscrivere il sistema di equazioni parametriche sotto forma vettoriale.
$$ v (x_1, x_2, x_3,x_4) = t_1 ( 1, -4, 0, 0 ) + t_2 ( 0, 0, 1, 0 ) + t_3 ( 0, 2, 0, 1 ) $$
che equivale alla combinazione lineare
$$ v (x_1, x_2, x_3,x_4) = t_1 w_1 + t_2 w_2 + t_3 w_3 $$
Ho così trovato i vettori della base del sottospazio.
$$ w_1 = ( 1, -4, 0, 0 ) $$ $$ w_2 = ( 0, 0, 1, 0 ) $$ $$ w_3 = ( 0, 2, 0, 1 ) $$
Quindi la base vettoriale del sottospazio W è la seguente:
$$ B = ( w_1 , w_2 , w_3 ) $$
$$ B = \{ ( 1, -4, 0, 0 ) , ( 0, 0, 1, 0 ) , ( 0, 2, 0, 1 ) \} $$
La base del sottospazio W è composta da 3 vettori.
Quindi la dimensione di W è uguale a 3
$$ dim(W) = 3 $$
E così via
Esempio 2
In uno spazio vettoriale R4 nel campo K=R, un sottospazio W è definito dal seguente sistema di equazioni cartesiane.
$$ W = \{ (x_1,x_2,x_3,x_4) \in R^4 , \begin{cases} x_1-x_2 = 0 \\ x_2+x_3+x_4=0 \\ x_3+2x_4 = 0 \end{cases} \} $$
Devo trovare i vettori della base del sottospazio.
Come primo passo, semplifico il sistema di equazioni cartesiane:
$$ \begin{cases} x_1=x_2 \\ x_2+x_3+x_4=0 \\ x_3=-2x_4 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x_1=x_2 \\ x_2+(-2x_4)+x_4=0 \\ x_3=-2x_4 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x_1=x_2 \\ x_2-x_4=0 \\ x_3=-2x_4 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x_1=x_2 \\ x_2=x_4 \\ x_3=-2x_4 \end{cases} $$
Ponendo x1=t posso parametrizzare l'intero sistema con un solo parametro t
$$ \begin{cases} x_1=x_2=t \\ x_2=x_4=t \\ x_3=-2x_4=-2t \end{cases} $$
Ottengo così i quattro parametri del sistema
$$ \begin{cases} x_1=t \\ x_2=t \\ x_3=-2t \\ x_4=t \end{cases} $$
ossia
$$ ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = ( t, t, -2t, t ) $$
$$ ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = t ( 1, 1, -2, 1 ) $$
La quale è una combinazione lineare
$$ ( x_1 , x_2 , x_3 , x_4 ) = t·w_1 $$
Ho così trovato il vettore della base vettoriale
$$ w_1 = ( 1, 1, -2, 1 ) $$
La base del sottospazio è la seguente
$$ B = ( w_1 ) $$ $$ B = { ( 1, 1, -2, 1 ) } $$
La base dello spazio vettoriale è composta da un solo vettore, quindi ha dimensioni pari a 1.
$$ dim(W)=1 $$
Pertanto, tutte le basi del sottospazio B devono essere di ordine 1.
E così via.
