Esercizio studio limite del limite 6

Devo studiare il limite per x→-2 della funzione fratta

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14} $$

Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali meno le radici dell'equazione di 2° grado al denominatore x^2-5x-14

$$ x= \frac{5 \pm \sqrt{25-4(-14)}}{2} $$

$$ x= \frac{5 \pm \sqrt{25+56}}{2} $$

$$ x= \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} $$

$$ x= \frac{5 \pm \sqrt{81}}{2} $$

$$ x= \frac{5 \pm 9}{2} $$

$$ x = \begin{cases} \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7 \\ \\ \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \end{cases} $$

Quindi il dominio della funzione è

$$ D_f = (-\infty, -2) \cup (-2, 7) \cup (7, \infty) $$

Il punto x=-2 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere con il calcolo del limite.

Il limite è una forma indeterminata 0/0

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14} = \frac{0}{0} $$

Per evitare la forma indeterminata, provo a riscrivere la funzione in una forma equivalente.

Applico il metodo di Ruffini per semplificare il polinomio al numeratore.

$$ \begin{array}{c|lcr} & \text{3} & \text{1} & \text{-10} \\ -2 & & -6 & +10 \\ \hline & 3 & -5 & 0 \end{array} $$

Quindi il numeratore posso riscriverlo (x+2)(3x-5)

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x+2)(3x-5)}{x^2-5x-14} $$

Applico di nuovo il metodo di Ruffini per semplificare il polinomio al denominatore.

$$ \begin{array}{c|lcr} & \text{1} & \text{-5} & \text{-14} \\ -2 & & -2 & 14 \\ \hline & 1 & -7 & 0 \end{array} $$

Quindi il numeratore posso riscriverlo (x+2)(x-7)

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x+2)(3x-5)}{(x+2)(x-7)} $$

Elimino (x+2) al numeratore e al denominatore

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x-5}{x-7} $$

Quindi, calcolo il limite per x→-2

$$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x-5}{x-7} = \frac{-11}{-9} = \frac{11}{9} $$

Il limite della funzione è 11/9.

Nota. Essendo una forma indeterminata 0/0 potrei risolvere la forma indeterminata anche usando il teorema di L'Hopital. $$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{3x^2+x-10}{x^2-5x-14} $$ $$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{D[3x^2+x-10]}{D[x^2-5x-14]} $$ La derivata del polinomio al numeratore è D[3x2+x-10]=6x+1 mentre la derivata del polinomio al denominatore è D[x2-5x-14]=2x-5. $$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{6x+1}{2x-5} $$ Poi calcolo il limite per x→-2. $$ \lim_{x \rightarrow -2} \frac{6x+1}{2x-5} = \frac{-11}{-9} = \frac{11}{9} $$ Il risultato è lo stesso.

E così via.

 


 

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