Esercizio studio del limite 7

Devo studiare il limite

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{x^3-x^2-x-2} $$

Riscrivo il denominatore della funzione in una forma equivalente usando il metodo di Ruffini

$$ \begin{array}{c|lcr} & \text{1} & \text{-1} & \text{-1} & \text{-2} \\ 2 & & 2 & 2 & 2 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} $$

Quindi il denominatore diventa

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{(x-2) \cdot (x^2+x+1)} $$

In questa forma è più facile capire il dominio della funzione fratta.

Il dominio della funzione è l'insieme dei numeri reali ad eccezione dei punti in cui si annulla il denominatore.

$$ D_f = R - \{ 2 \} $$

Il punto x=2 è un punto di accumulazione della funzione.

Quindi, posso procedere con il calcolo del limite.

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{(x-2) \cdot (x^2+x+1)} = \frac{0}{0} $$

Per uscire dalla forma indeterminata, razionalizzo il denominatore moltiplicando e dividendo per

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{x^2-2x+9}-3}{(x-2) \cdot (x^2+x+1)} \cdot \frac{\sqrt{x^2-2x+9}+3}{\sqrt{x^2-2x+9}+3} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{(x^2-2x+9)-9}{(x-2) \cdot (x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^2-2x}{(x-2) \cdot (x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x \cdot (x-2)}{(x-2) \cdot (x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)} $$

Elimino (x-2) al numeratore e al denominatore.

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x}{(x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)} $$

Ora il limite è calcolabile per x→2.

$$ \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x}{(x^2+x+1) \cdot (\sqrt{x^2-2x+9}+3)} = \frac{2}{(7 \cdot 6)} = \frac{1}{21} $$

Il limite della funzione è 1/21.

E così via.