Esercizio calcolo integrale 5

Devo studiare l'integrale

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$

Per risolvere l'integrale uso il metodo per sostituzione.

Posso seguire due strade diverse che portano allo stesso risultato.

Primo metodo

Il componente più ostico dell'integrale è la radice quadrata.

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$

Assegno la radice quadrata alla variabile t.

$$ t = \sqrt{2x-1} $$

Poi calcolo il differenziale nei due membri dell'equazione rispetto alla propria variabile.

$$ D[t] \ dt = D[ \sqrt{2x-1} ] \ dx $$

$$ 1 \ dt = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2x-1}} \cdot 2 \ dx $$

$$ dt = \frac{1}{ \sqrt{2x-1} } \ dx $$

Il secondo membro dell'equazione è una parte della funzione integranda che posso sostituire con dt

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$

$$ \int \frac{1}{x} \cdot [ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx \ ] $$

$$ \int \frac{1}{x} \cdot [ \ dt \ ] $$

$$ \int \frac{1}{x} \ dt $$

A questo punto nell'integrale devo sostituire la variabile x con t

Sapendo che t=sqrt(2x-1) esplicito la x

$$ t = \sqrt{2x-1} $$

Grazie alla proprietà invariantiva delle equazioni elevo entrambi i membri al quadrato

$$ (t)^2 = (\sqrt{2x-1})^2 $$

$$ t^2 = 2x-1 $$

$$ t^2 + 1 = 2x $$

$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$

Dopo aver trovato la x in funzione di t, la sostituisco nell'integrale.

$$ \int \frac{1}{x} \ dt $$

$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2}} \ dt $$

$$ \int \frac{2}{t^2 + 1} \ dt $$

$$ \int 2 \cdot \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$

Applico la regola del prodotto di una costante per l'integrale per far uscire il numero 2 dall'integrale

$$ 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$

Ora l'integrale è immediato.

La primitiva dell'integrale è l'arcotangente di t.

$$ 2 \cdot ( \arctan(t) + c ) $$

$$ 2 \arctan(t) + 2c $$

Nota. La derivata dell'arcotangente è $$ D[\arctan t] = \frac{1}{1+t^2} $$

Essendo 2c è un valore costante, posso semplicemente scrivere c.

$$ 2 \arctan(t) + c $$

Infine sostituisco la variabile t con la variabile x

$$ 2 \arctan(\sqrt{2x-1}) + c $$

Il risultato finale è la soluzione dell'integrale.

Secondo metodo

Il componente più scomodo dell'integrale è la radice.

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$

Assegno la radice alla variabile t.

$$ t = \sqrt{2x-1} $$

Esplicito la variabile x

$$ t = \sqrt{2x-1} $$

$$ (t)^2 = (\sqrt{2x-1})^2 $$

$$ t^2 = 2x-1 $$

$$ t^2 + 1 = 2x $$

$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$

Quindi calcolo il differenziale in entrambi i membri dell'equazione per la rispettiva variabile.

$$ D[x] \ dx = D[ \frac{t^2 + 1}{2} ] \ dt $$

$$ 1 \ dx = D[ \frac{2t}{2} ] \ dt $$

$$ dx = t \ dt $$

Poi sostituisco dx = t dt nell'integrale.

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$

$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} \cdot t dt $$

Sapendo che

$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$

Sostituisco la variabile x con la variabile t nell'integrale

$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \sqrt{2 \cdot (\frac{t^2 + 1}{2})-1}} \cdot t \ dt $$

$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \sqrt{(t^2 + 1)-1}} \cdot t \ dt $$

$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \sqrt{t^2}} \cdot t \ dt $$

$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \cdot t} \cdot t \ dt $$

$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} } \ dt $$

$$ \int \frac{2}{t^2 + 1 } \ dt $$

$$ 2 \int \frac{1}{t^2 + 1 } \ dt $$

In questo modo ottengo un integrale immediato.

La primitiva che risolve l'integrale è l'arcotangente di t

$$ 2 \arctan(t) + c $$

Sostituisco la variabile t con la variabile x

$$ 2 \arctan(\frac{t^2 + 1}{2}) + c $$

Il risultato è la soluzione dell'integrale.

E così via.

 


 

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