Esercizio calcolo integrale 5
Devo studiare l'integrale
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
Per risolvere l'integrale uso il metodo per sostituzione.
Posso seguire due strade diverse che portano allo stesso risultato.
Primo metodo
Il componente più ostico dell'integrale è la radice quadrata.
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
Assegno la radice quadrata alla variabile t.
$$ t = \sqrt{2x-1} $$
Poi calcolo il differenziale nei due membri dell'equazione rispetto alla propria variabile.
$$ D[t] \ dt = D[ \sqrt{2x-1} ] \ dx $$
$$ 1 \ dt = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{2x-1}} \cdot 2 \ dx $$
$$ dt = \frac{1}{ \sqrt{2x-1} } \ dx $$
Il secondo membro dell'equazione è una parte della funzione integranda che posso sostituire con dt
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
$$ \int \frac{1}{x} \cdot [ \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx \ ] $$
$$ \int \frac{1}{x} \cdot [ \ dt \ ] $$
$$ \int \frac{1}{x} \ dt $$
A questo punto nell'integrale devo sostituire la variabile x con t
Sapendo che t=sqrt(2x-1) esplicito la x
$$ t = \sqrt{2x-1} $$
Grazie alla proprietà invariantiva delle equazioni elevo entrambi i membri al quadrato
$$ (t)^2 = (\sqrt{2x-1})^2 $$
$$ t^2 = 2x-1 $$
$$ t^2 + 1 = 2x $$
$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$
Dopo aver trovato la x in funzione di t, la sostituisco nell'integrale.
$$ \int \frac{1}{x} \ dt $$
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2}} \ dt $$
$$ \int \frac{2}{t^2 + 1} \ dt $$
$$ \int 2 \cdot \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$
Applico la regola del prodotto di una costante per l'integrale per far uscire il numero 2 dall'integrale
$$ 2 \int \frac{1}{t^2 + 1} \ dt $$
Ora l'integrale è immediato.
La primitiva dell'integrale è l'arcotangente di t.
$$ 2 \cdot ( \arctan(t) + c ) $$
$$ 2 \arctan(t) + 2c $$
Nota. La derivata dell'arcotangente è $$ D[\arctan t] = \frac{1}{1+t^2} $$
Essendo 2c è un valore costante, posso semplicemente scrivere c.
$$ 2 \arctan(t) + c $$
Infine sostituisco la variabile t con la variabile x
$$ 2 \arctan(\sqrt{2x-1}) + c $$
Il risultato finale è la soluzione dell'integrale.
Secondo metodo
Il componente più scomodo dell'integrale è la radice.
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
Assegno la radice alla variabile t.
$$ t = \sqrt{2x-1} $$
Esplicito la variabile x
$$ t = \sqrt{2x-1} $$
$$ (t)^2 = (\sqrt{2x-1})^2 $$
$$ t^2 = 2x-1 $$
$$ t^2 + 1 = 2x $$
$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$
Quindi calcolo il differenziale in entrambi i membri dell'equazione per la rispettiva variabile.
$$ D[x] \ dx = D[ \frac{t^2 + 1}{2} ] \ dt $$
$$ 1 \ dx = \frac{2t \cdot 2 - 0 \cdot t^2}{2^2} \ dt $$
$$ 1 \ dx = \frac{4t}{4} \ dt $$
$$ dx = t \ dt $$
Poi sostituisco dx = t dt nell'integrale.
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} dx $$
$$ \int \frac{1}{x \sqrt{2x-1}} \cdot t \ dt $$
Sapendo che
$$ x = \frac{t^2 + 1}{2} $$
Sostituisco la variabile x con la variabile t nell'integrale
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \sqrt{2 \cdot (\frac{t^2 + 1}{2})-1}} \cdot t \ dt $$
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \sqrt{(t^2 + 1)-1}} \cdot t \ dt $$
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \sqrt{t^2}} \cdot t \ dt $$
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} \cdot t} \cdot t \ dt $$
$$ \int \frac{1}{\frac{t^2 + 1}{2} } \ dt $$
$$ \int \frac{2}{t^2 + 1 } \ dt $$
$$ 2 \int \frac{1}{t^2 + 1 } \ dt $$
In questo modo ottengo un integrale immediato.
La primitiva che risolve l'integrale è l'arcotangente di t
$$ 2 \arctan(t) + c $$
Sostituisco la variabile t sapendo che t=√(2x-1)
$$ 2 \arctan( \sqrt{2x-1} ) + c $$
Il risultato è la soluzione dell'integrale.
E così via.
