Esercizio studio funzione 11
Devo studiare la funzione del logaritmo di 1-x2
$$ f(x) = \log(1 - x^2) $$
Dominio
Questa funzione non è definita per tutti i valori di \( x \).
Infatti, perché il logaritmo abbia senso, l'argomento dentro il logaritmo deve essere positivo.
$$ 1 - x^2 > 0 $$
$$ - x^2 > -1 $$
$$ x^2 < 1 $$
$$ \sqrt{x^2} < \sqrt{1} $$
$$ |x| < 1 $$
$$ |x|<1 \Rightarrow \begin{cases} x<1 \\ \\ -x<1 \end{cases} $$
$$ |x|<1 \Rightarrow \begin{cases} x<1 \\ \\ x>-1 \end{cases} $$
Questo implica che \( -1 < x < 1 \). Fuori da questo intervallo, la funzione non esiste.
$$ D_f = (-1, 1) $$
Studio del segno
La funzione \( f(x) = \log(1 - x^2) \) sarà positiva, negativa o nulla a seconda del segno di \( 1 - x^2 \).
In generale, un logaritmo è negativo se l'argomento è compreso tra (0,1), è nullo se l'argomento è uguale a 1, è positivo se l'argomento è maggiore di 1.
Verifico quando l'argomento \( 1 - x^2 \) è uguale a 1.
$$ 1-x^2=1 $$
$$ -x^2=1-1 $$
$$ -x^2=0 $$
$$ x=0 $$
Quindi, in x=0 il logaritmo $ \log(1-x^2) $ è nullo.
Verifico quando l'argomento \( 1 - x^2 \) è maggiore di uno.
$$ 1-x^2>1 $$
$$ -x^2 >1-1 $$
$$ -x^2 >0 $$
$$ x^2 < 0 $$
Poiché nessun numero elevato al quadrato può essere negativo, deduco che l'argomento $ 1-x^2 $ non è mai maggiore di 1.
Quindi, per qualsiasi valore $ x \in (-1,1) $ il logaritmo $ \log(1-x^2) $ è sempre non positivo.
Punti indefiniti
Nel dominio (-1,1) la funzione non ha punti indefiniti.
Comportamento asintotico
Non essendoci punti indefiniti la funzione non ha asintoti verticali.
Adesso guardiamo il comportamento della funzione ai limiti dell'intervallo \( x \in (-1, 1) \).
$$ \lim_{x \rightarrow 1} \log(1 - x^2) = - \infty $$
$$ \lim_{x \rightarrow -1} \log(1 - x^2) = - \infty $$
Quando \( x \) si avvicina a -1 o 1, \( 1 - x^2 \) si avvicina a 0, e il logaritmo di 0 non esiste. Quindi la funzione tende a \(-\infty\) quando \( x \) si avvicina a -1 o 1.
Studio della crescenza e della decrescenza
La derivata della funzione è
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \log(1 - x^2) = \frac{-2x}{1 - x^2} $$
Questo mi dice come cambia la funzione. Se \( x \) è positivo, la derivata è negativa e viceversa.
Punti indefiniti
Non ce ne sono dentro il dominio perché la derivata non si annulla mai all'interno di \( (-1, 1) \).
Grafico della funzione
La funzione parte da \(-\infty\) quando \( x \) si avvicina a -1, aumenta, raggiunge un massimo (che non esiste perché la derivata non si annulla) e torna a \(-\infty\) quando \( x \) si avvicina a 1.
E così via.
